专题空间位置关系与距离(教师版).docVIP

专题15 空间位置关?系与距离 ★★★高考在考什?么 【考题回放】 1已知平面α?外不共线的?三点A,B,C到α的距?离都相等,则正确的结?论是( ) A.平面ABC?必平行于α? B. 存在△ABC的一?条中位线平?行于α或在?α内 C. 平面ABC?必与α相交?D. 平面ABC?必不垂直于?α 2．如图，过平行六面?体ABCD?-A1B1C?1D1任意?两条棱的中?点作直线,其中与平面?DBB1D?1平行的直?线共有( D ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．设三棱柱A?BC—A1B1C?1的体积为?V，P、Q分别是侧棱AA?1、 CC1 上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的?体积为（ C ） A． B． C． D． 4．已知m、n是两条不?重合的直线?，α、β、γ是三个两?两不重合的?平面，给出下列四个命题：①若； ②若 ③若； ④若m、n是异面直?线，，其中真命题?是（ D） A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④ 5．在正方形中?，过对角线的?一个平面交?于E，交于F，则四边形一定?是平行四边?形 四边形有可?能是正方形? 四边形在底?面ABCD?内的投影一?定是正方形? 四边形有可?能垂直于平?面 以上结论正?确的为 ①③④ 。（写出所有正?确结论的编?号） 6如图，四面体AB?CD中，O、E分别BD?、BC的中点?, （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD?； （Ⅱ）求异面直线?AB与CD?所成角的大?小； （Ⅲ）求点E到平?面ACD的?距离. 【专家解答】 （I）证明：连结OC 在中，由已知得而 即 平面 （II）取AC的中?点M，连结OM、ME、OE，由E为BC?的中点知 直线OE与?EM所成的?锐角就是异?面直线AB?与CD所成?的角 在中， 是直角斜边?AC上的中?线，异面直线A?B与CD所?成角的大小?为 （III）设点E到平?面ACD的?距离为 在中 而 点E到平面?ACD的距?离为 【考点透视】 判断线线线面面面的平行?与垂直求点到平面?的距离及多?面体的体积?。 【热点透析】 转化思想 ① ；② 异面直线间?的距离转化?为平行线面?之间的距离?，平行线面、平行面面之?间的距离转?化为点与面?的距离。 2空间距离则?主要是求点?到面的距离?主要方法①体积法； ②直接法,找出点在平?面内的射影?【范例1】如图，在五面体中?，点是矩形的?对角线的交?点，面是等边三?角形，棱． （1）证明//平面； （2）设，证明平面． 解：（Ⅰ）取CD中点?M，连结OM. 在矩形AB?CD中，，又，则， 连结EM，于是四边形?EFOM为?平行四边形?. 又平面CD?E， EM平面C?DE， FO∥平面CDE? （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件?，在等边△CDE中， 且. 因此平行四?边形EFO?M为菱形，从而EO⊥FM而FM?∩CD=M，∴CD⊥平面EOM?，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF?. 【点晴】本小题考查?直线与平面?平行、直线与平面?垂直等基础?知识，注意线面平?行和线面垂?直判定定理?的使用，考查空间想?象能力和推?理论证能力?。 【文】如图，在四棱锥P?-ABCD中?，底面为直角?梯形,AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABC?D，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为P?C、PB的中点?(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平?面ADMN?所成的角 解：方法一：（I）因为是的中?点，，所以. 因为平面，所以，从而平面. 因为平面，所以. （II）取的中点，连结、，则， 所以与平面?所成的角和?与平面所成?的角相等. 因为平面，所以是与平?面所成的角?. 在中，. 故与平面所?成的角是. 方法二：以为坐标原?点建立空间?直角坐标系?，设，则 . （I） 因为，所以 （II） 因为，所以， 又因为，所以平面 因此的余角?即是与平面?所成的角. 因为， 所以与平面?所成的角为?. 【点晴】注意线线垂?直常使用线?面垂直得到?解决，线面角关键?是找到射影?，遵循一作二?证三计算的?步骤。同时使用空?间向量能降?低对空间想?象能力的要?求。【范例2】如图，四棱锥P—ABCD中?，底面ABC?D 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD?为等边三角?形，并且与底面?所成二面角?为60°. （Ⅰ）求四棱锥P?—ABCD的?体积； （Ⅱ）证明PA⊥BD. 解：（Ⅰ）如图，取AD的中?点E，连结PE，则PE⊥AD. 作PO⊥平面在AB?CD，垂足为O，连结OE. 根据三垂线?定理的逆定?理得OE⊥AD， 所以∠PEO为侧?面PAD与?底面所成的?