小波分析2006(第4讲：离散小波变换的多分辨率分析)1.pdfVIP

第 4讲 离散小波变换的多分辨率分析 4.1 多分辨率分析的引入 4.2 多分辩率分析的定义 V W 4.3 空间 j 、 j 中信号的分解 4.4 二尺度差分方程 4.5 二尺度差分方程与共轭正交滤波器组 4.6 Mallat 算法 4.7 Mallat 算法的实现 4.8 小波变换小结 在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研 究a,b 及t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意 义。由Mallat 和Meyer 自80 年代末期所创立的“多分辨率分析”技术,起到了关键的作 用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法结合起 来，构成了小波分析的重要工具。本讲讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。 1 4.1 多分辨率分析的引入 4.1.1 信号的分解近似 现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。 给定一个连续信号x (t) ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。 如图4.1.1(a)所示，令 1 ⎧ 0 ≤t 1 φ(t ) ⎨ (4.1.1) 0 其它 ⎩ 显然，φ(t) 的整数位移相互之间是正交的，即 ′ ′ ′ 〈φ(t −k ),φ(t −k )〉 δ(k −k ) k ,k ∈Z (4.1.2) 这样，由φ(t) 的整数位移φ(t −k ) 就构成了一组正交基。设空间V 由这一组正交基所构成， 0 这样，x (t) 在空间V 中的投影（记作P x (t) ）可表为： 0 0 P x (t ) ∑a (k )φ(t −k ) ∑a (k )φ (t ) (4.1.3) 0 0 0 0,k k k 式中φ (t) φ(t −k ) ,a (k ) 是基φ (t) 的权函数。P x (t) 如图4.1.1(b)所示，它可以看作是x (t) 0,k 0 0,k 0 在V 中的近似。a (k ) 是离散序列，如图4.1.1(c)所示。 0 0 令