用等价无穷求极限的研究毕业论文.docVIP

用等价无穷小求极限的研究 摘要：极限的计算方法多样灵活，计算巧妙。等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一。再求和、差函数极限，函数的极限，积分上限函数的极限等方面，等价无穷小的替换具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，起到事半功倍的效果。我在此研究了和、差函数的极限等价无穷小，乘积因子等价无穷小的替换，函数的极限的等价无穷小，积分上限函数极限的等价无穷小，和、差函数极限的等价无穷小的替换。 关键词： 等价无穷小 函数的极限 替换 级数收敛 定义： 设函数f(x)在上有意义，若，则称为时的一个无穷小量. 证明 因为，于是 这样 例2 （1）求 解：当时，， .显然与均为比高阶的无穷小，而为比高阶的无穷小量，由定理易知： ， 则原式 （2）求极限 于是 解法二：当时，有，于是 解法二说明了求“”型的极限时,分子或分母是连乘或连除的形式时，可以把分子或分母的某个函数用其等价无穷小来代换. 定理3 若且对任意的与为等价无穷小量,即且在区间内不变号,则有 . 再证明之前,先给出两个引理: 引理1 在自变量的某一变化过程中,函数有极限A的充要条件是 其中是自变量同一变化过程中的无穷小量. 引理2 由积分第一中值定理可知,若与在闭区间上连续，且 在上不变号,则在上至少存在一点使得 . 证明 由于即,由引理1得,则,其中满足,则 .由于在区间上不变号,则由引理2得,所以 例3 求极限 解 显然在内单调增加, 时, 和是等价无穷小,由定理3得 2 乘积因子等价无穷小的替换 定理 3 设是某一变化过程中的无穷小量,极限都存在且不为零，则当且仅当与为等价无穷小量时,有 证明：当与为等价无穷小量时,即 则 .反之 若 则有. 即与为等价无穷小量. 例4 定理 4 是某一变化过程中的无穷小量, ,且极限存在, 则 证明： . 例5 求 解：由于则 3 型不定式极限的替换 定义：重要极限，此类极限可归结为型不定式极限. 定理 5 假设以及并且 ，则有. 证明： 由于函数在内连续，因此得： . 证毕. 例6 求极限 解 ：将极限式做恒等变形：得 ， 由于当时 ，有，又，因此可得 定理 6 如果在给定的的趋向下，，，，都是无穷小，并且～，～,则在的这种趋向下，极限： . 证明：由于 . （1） 又由于～，～,有：～～～，于是， . （2） 有上述两式，定理得证. 推论1 如果在给定的的趋向下，，，都是无穷小，且～，则在的这种趋向下，极限： . 推论 2 如果在给定的的趋向下，，，都是无穷小，且 ～，则在的这种趋向下，极限： . 例7 求极限. 解： 考虑到当时，，应用推论1得： 例8 求极限 解：由于,则,做变量替换：,则原式变为：. 因为当时, ,则  4 变上限函数极限的等价无穷小的替换 在变上限积分中,如果那么该变上限积分就是一个无穷小,如果能够找出这种类型在变上限积分的等价无穷小,那么在一些极限计算的过程中运用等价无穷小替换的方法,从而使极限的计算得到简化. 定理7 若函数在处阶可导,且, 则当时,变上限积分 与是等价无穷小, 即. 证明 由于 ,已知条件,可得 因此利用洛比达法则可以得到 根据定理8,,可以得到以下结论: 推论1 若函数在处阶可导,且则当时有 推论2 若函数在处阶可导,且则当时有 推论3 若函数在处阶可导,且则当 时有 在定理8中,若取,则可以得到以下结论: 若函数在处阶可导,且, 则当时有; 特别的,当时,可以得到下面引理: 引理 若函数在处阶可导,且, 则当时有 例9 求 解 在中, ,当时, ;在中,,当时, 所以极限 定理8 设为时的无穷小量, ,且与在上连续,则有 证明：因为,所以 例10（1）求极限. 解 由于当时, ， 定理9 若与在上连续,则 证明 例11 (1)求极限. 解 因为所以当时, ,, 所以. ， 定理10 设为时的同号无穷小量, 且则当时,级数 与有相同的敛散性. 证明 （1）当为正项级数时,且对,存在着正整数,当时,有,即 ,由正项级数比较收敛法知与有