初中数学竞赛辅导讲义（三）【精品推荐】.docx

初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。分式运算：实质就是分式的通分与约分。[例题选讲]例1．化简 + + 解：原式= + + = - + - + - =例2． 已知 = = ，且xyz0，求分式的值。解：易知： = = =ｋ 则 （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0若ｋ=2则原式= k = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k =-1例3．设 =1，求 的值。解：显然X，由已知 =1 ，则 x + = ｍ + 1 ∴ = ｘ + - ｍ= (x +)-2 –ｍ=( ｍ +1)-2- ｍ= 2ｍ -1 ∴原式=例4．已知多项式3x3 +ax +3x +1 能被x+1整除，求ａ的值。解：ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证 + + …… +＜ 证：左边=（1 - + - + …… + - ） =（1- ）∵n为正整数，∴ ＜ 1∴1- ＜ 1 故左边＜ [小结归纳]1、部分分式的通用公式： = （ - ）2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。[巩固练习]1、若分式的值是正整数， 则整数m= 。2、若 = = = =ｋ则k= 。3、已知a-3b = 2ab .(a＞0，b＞0),则 = .4、已知a、b、c是有理数，且=， = ，= ，则= 。5、若 - = 2006，则= 。6、实数a、b满足ab=1，设A = + ，B= + +1，则A、B的关系为 。7、当ａ、ｂ、ｃ为何值时，多项式能被除数整除？ 8、计算 = 。9、已知= + + ， 求A、B、C的值。10、若对于3以外的一切实数X，等式 - = 均成立，则mn = 11、已知 = = ，则 = 。第二讲 分式方程及应用[知识点击]解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。[例题选讲]解方程组 分析：令 =m, =n ,则可得： 易求： 解方程解：原方程可化为两边分别通分： ，易求：ｘ = 4当ｍ为何值时，关于x的方程的解为正数？解：解方程可得：x=，需 可得ｍ＜1 且m≠-3。设库池中有待处理的污水a吨，从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加，若同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？解：设1台机组每小时处理污水y吨，要在5小时内处理完污水， 至少同时开动x台机组，则： 可得 X≥ 求证对任意自然数n，有＜2证明：当n=1时，1＜2显然成立。当ｎ＞1时，ｎ（ｎ-1）＜ｎ所以＜ 故：＜＜2[点评归纳]当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；假分式构成的分式方程一般先分离整数， 然后等式两边分别通分可解。解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。[巩固练习]1、某同学用一架不等臂天平称药品， 第一次将左盘放入50g砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（ ）A、等于100g B、大于100g C、小于100g D、都有可能2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时， 再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完， 已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？3、解方程 = 4、解方程5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后的单价。6、自然数m、n是两个不同质数，且m+n+mn的最小值为P，则= 7、已知有因式，则ｍ= 8、求的最大值。第三讲 一元二次方程的解法[知识点击]一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。设而不求是