【医用高等数学课件】7.2矩阵.pptVIP

第二节 矩阵 一、矩阵的概念 矩阵的定义 二、矩阵的运算 矩阵的乘法 三、矩阵的逆 逆矩阵的求法 四、小结 定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 证明 若 可逆， 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 例1 求方阵 的逆矩阵. 解 同理可得 故 解 例 * 返回 1. 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵.简称 矩阵. 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 主对角线 副对角线 例如 是一个3 阶方阵. 几种特殊矩阵 (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). （3） 称为对角 矩阵(或对角阵）. 形如 的方阵, 不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 记作 (5)方阵 称为单位矩阵. 全为1 定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 １.矩阵的加法和数乘 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 2. 矩阵加法的运算规律 定义 3.数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 １.定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. ２.矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则 但也有例外，比如设 则有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例 已知 解法1 解法2 对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. ,使得 例 设 说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 若设 和 是 的可逆矩阵， 则有 可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即 * 返回