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显然按定义计算定积分非常困难
定义,质点从时该a到b所经过的路程为.程记为 s(b)- s(a), 则于是若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动,由定积分另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数, 因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下面的牛顿—莱布尼茨公式.(牛顿—莱布尼茨公式)定理9.1函数 f 在 [a, b] 上满足条件:(i) f 在 [a, b] 上连续,(ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F,则(1) f 在 [a, b] 上可积;例2注1 以后将证明, 若 f 在 [a, b]上连续, 则 f 在 [a, b]上必有原函数 F (x). 因此条件 (ii) 是多余的.注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可积.解例3例4解解用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.例5解上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为因此
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