考前基础练(三)：解析几何和极坐标和参数方程.docVIP

容山中学2018届高三文数考前基础练：解析几何与极坐标与参数方程 1．已知点P（2，2），圆C：x2y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． （1）求M的轨迹方程；（2）当OP|=|OM|时，求l的方程及POM的面积． 2．已知过抛物线Ω：y2=2px（0p≤8）的焦点F向圆C：（x﹣3）2y2=1引切线FT（T为切点），切线FT的长为． （Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）作圆C：（x﹣3）2y2=1的切线l，直线l与抛物线Ω交于A，B两点，求FA|?|FB|的最小值． 3．设O为坐标原点，椭圆C：=1，斜率为k的动直线l（l不经过O）与C交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． （1）设直线OM的斜率为k1，求k1k的值； （2）若l经过点（0，），求k的取值范围，并求OPQ的面积的最大值． 4．已知椭圆的离心率为，F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上的任意一点，MF1F2的面积的最大值为1，A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，直线与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另一点E． （1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：直线AE过定点． 5．在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式． （1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程； （2）坐标原点O到直线l：y=kxm的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求AOB的面积． 6．曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点． （Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程； （Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数，0α＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2的极坐标方程为． （Ⅰ）求C2的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（Ⅱ）C1与C2相交于不同两点A，B，线段AB中点为M，点N（0，﹣1），若MN|=2，求C1参数方程中sinα的值． 8．在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程； （2）射线（ρ0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求AB|． 9．已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）． （1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程； （2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求AP|?|AQ|的值． 　 参考答案 1．【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由OP|=|OM|得到ONPM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：（1）由圆C：x2y2﹣8y=0，得x2（y﹣4）2=16，圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，． 由题意可得：．即x（2﹣x）（y﹣4）（2﹣y）=0． 整理得：（x﹣1）2（y﹣3）2=2．M的轨迹方程是（x﹣1）2（y﹣3）2=2． （2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆， 由于OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM．kON=3， 直线l的斜率为﹣．直线PM的方程为，即x3y﹣8=0． 则O到直线l的距离为．又N到l的距离为， PM|==．． 2．【分析】（Ⅰ）求出圆的圆心与抛物线的焦点坐标，利用勾股定理求出p，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=nym，代入y2=4x利用韦达定理以及抛物线的性质得：FA|=x1+1，FB|=x2+1，求出FA|?|FB|的表达式，然后求解最小值即可． 【解答】解；（Ⅰ）因为圆C：（x﹣3）2y2=1的圆心为C（3，0），，……………1分 由切线长定理可得FC|2=|FT|2+r2，即，……………3分 解得：p=2或p=10，又0p≤8，p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．……………4分 （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=nym， 代入y2=4x得y2﹣4ny﹣4m=0，y1+y2=4n，y1y