第五章-5.2-线性微分方程组一般理论.pptVIP

* 所以,原方程的通解为 * 例6 试求初值问题 的解. 解: 由例3知 是对应齐次方程的基解矩阵, * 故方程满足初始条件 的解是 * * * * * * * §5.2 线性微分方程组的一般理论 讨论线性微分方程组 的一般理论，主要研究它的解的结构。 如果 ，则（5.14）称为非齐线性的。 如果 ，则（5.14）称为齐线性的，即称 为齐线性的，通常（5.15）称为对应于（5.14)的齐线 性方程组。 * 主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。前提：A(t)在区间 上是连续的。 定理2（叠加原理）如果 是（5.15）的解，则它们的线性组合 也是（ 5.15 ）的解，这里 是任意常数。 分析(5.15)的所有解构成一个线性空间, 那么这个空间的维数是多少？于是需要考虑类似的概念：向量函数组线性相关(无关)性,以及向量函数组的伏朗斯基行列式。 5.2.1 齐线性方程的解性质和结构 1.解的性质 齐次线性微分方程组一定有零解。 * 2.向量函数组的相关性 考虑定义在区间 上的向量函数 如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式 对于所有 都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。 * 证明: 要使 例1 证明:函数向量组 * 则需 因为 所以 故 线性无关. * 3、向量函数组线性相关性判断 定义在区间 上的n个n维向量函数 所作成的如下行列式称为朗斯基行列式，即 其中, * 定理3 证明: * 注：定理3的逆命题不成立 反例： 显然满足 但我们容易证明 线性无关。 * 线性相关 线性无关 结论： 一般的向量函数组 线性相关性判定准则： 而我们关心的是线性微分方程组的解函数向量组的线性相关性。 * 定理4 证明: “反证法” 则 现在考虑函数向量 4、解函数向量组的线性相关性判定 * 由定理2知, 由(5.17)知, 因此,由解的存在唯一性定理知, 即有 矛盾 而齐次线性微分方程组的零解显然也满足该初值条件。 结论： 解组相关性的判定准则 * (4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明: 由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足如下初始条件 且 * 定理6（通解结构定理） 如果 是方程组（5.15）的 个线性无关的解， 则方程组（5.15）的任一解均可表为 其中 是相应的确定常数。 * 即它们构成n维线性空间的基, 现在用此组常数构造函数向量 由解的叠加原理知， 由(5.20)知， 因此，由解的存在唯一性定理，应有 即 * 推论1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于n. 基本解组: 为(5.15)的一个基本解组. 注1: (5.15)的基本解组不唯一. 注2: (5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间. 注3: 由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去. * 5、 解矩阵与基解矩阵及性质 (1)定义 则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵. 则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵. 基解矩阵---- 以基本解组为列构成的矩阵. * 由定理5,6得 由定理3,4得 * 注1: 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关. 如矩阵 注2: * 例3 验证 是方程组 的基解矩阵. 解: 由于 又由于 * 证明：按定义验证即可. 这说明基解矩阵不是唯一的． * 推论2* 如果， 在区间 上是 的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异 常数矩阵 ，使得在区间 上， 这说明基解矩阵的相似性． 构造方法证明：构造常数