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*/15 热传导方程分离变量法 热传导方程分离变量法 固有值与固有函数 不同边界条件固有值问题 例题分析与练习题 ? ? ? ? 夏日消溶,江河横溢,人或为鱼鳖。 ············· 冰川溶化 热传导 (热传递的三种基本方式之一) 是指热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现象。 热传导定律: 热传导起源于温度 u 的不均匀,不均匀程度用梯度 表示; 热流强度 q 表示单位时间通过单位横截面积的热量, 根据实验结果得 其中, k 是导热系数, u(x, y, z, t ) 是导热体中的温度. 热传导定律分量形式 单位时间内 x 方向净流入: 单位时间内 y 方向和 z 方向净流入: 热量守恒定律? 其中, c 是比热, 是密度. 对于均匀物体,有 记 ? 单位时间净流入量 一维热传导方程: ut = a2uxx 二维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy] 三维热传导方程: ut = a2[uxx + uyy + uzz ] u = u(x, y, t ) u = u(x, t ) l O 有限长杆的热传导问题 u = u ( x, y, z. t ) 求解区域 :六面体、球域、·········· 求解区域 :矩形域、圆域、·········· 分离变量法. 设 u( x, t )=T(t)·X(x) ? 两个常微分方程 有限长杆的热传导问题 ? ? 固有值问题 固有值: 固有函数: ( n = 1, 2, ·········· ) ( n = 1, 2, ····· ) 含时常微分方程 un(x, t) = Tn(t) Xn(x) 初始条件: ? (叠加原理) ——付里叶展式 热传导方程基本解 例1 求解热传导问题 解:固有值和固有函数为 固有值问题II 求非零函数 X(x) 和数 边界条件: ? 系数矩阵行列式为零 ? 例2 求解热传导问题 解: 固有值和固有函数 初值条件? 级数解 */15
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