固体物理学自由电子论.docVIP

固体物理学6自由电子论 固体物理学讲稿 第六章 自由电子论和电子的输运性质 6-1电子气的费米能和热容量 自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。 一 费米能量 1.模型(索末菲) (1)金属中的价电子彼此之间无相互作用； (2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。 2.费米分布函数 在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是 f(E)?1 e(E?EF)kBT?1 EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。 a.T?0b.T?0 E??EF?1?f(E)??陡变E?EF?0E?EF??1E??EF?1f(E)??E?EF2??0E??EF 随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近?kBT范围内。 3.费米面 1 固体物理学讲稿 E=EF的等能面称为费米面。 在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。 T≠0时，费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF约kBT范围的能级上的电子被激发到EF之上约kBT范围的能级。 4.求EF的表达式 E~E+dE间的电子状态数：N(E)dE E~E+dE间的电子数：f(E)N(E)dE 系统总的电子数：N? 分两种情况讨论： (1)在T=0K时，上式变成：N???０f(E)N(E)dE ?0EF ０N(E)dE 将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得： N??0EF ０20CEdE?CEF32??32 V?2m?其中C?c2?2? 2π??? 22V?2m?0N?E??F32π2??2?32??32 令n=N/V，代表系统的价电子浓度 2 固体物理学讲稿 ?2 E?3nπ2 2m0 F??2 金属中一般 n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg， 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算 EdN＝０NC?N?0EF 0E32dE?30EF 5 由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。 (1)在T≠0K时， N??CE2f(E)dE０? ??22??fCf(E)E3?C?E2E0330?E(分步积分得来) 2??f??C?E3E30?E=0 则上式化简为 2若令g(E)?CE32,3 N??g?E?(?0??fdE?E (??f)函数的特点具有类似于?(E-EF )函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显?E 著的值，且是E-EF的偶函数。 因此一方面，N??? ??g?E?(??f)dE ?E 12g??(EF（)E?EF）???? 2另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数： g(E)?g(EF)?g?(EF（)E?EF）? 只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到 3 固体物理学讲稿 N?g(E??f F)???(??E)dE ?g?(E??f F)???(E?EF)(??E)dE ?1 2g??(E??f F)???(E?E2F)(??E)dE ?I0g(EF)?I1g?(EF)?I2g??(EF) ?f 很显然，I0等于１，由于 (? ? E)为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。 I? 1?0I2?1 2???(E?E2?fF)(??E)dE 令(E-EF)/kBT=?，则 f?1 e??1 ?fe? ?1 ?E?(e??1)2k BT (k2?? I?BT) 2?e22??(e??1)2?d? e?e?? 由于(e?1)2?(e??1)2为偶函数，因此 I2?(kBT)2??e? ０(e??1)2?2d? 计算得Iπ2 ２?6(kBT)2 N?I0g(EF)?I1g?(EF)?I2g??(EF): =1 =0