浙教版 八下 数学 反比例函数与一次函数的综合.doc

反比例函数与一次函数的综合 (教材P157目标与评定第13题) 如图1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)，求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围． 图1 解：略． 【思想方法】 (1)要解决反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，把交点的坐标分别代入两函数表达式计算即可，注意两函数图象的交点可以利用联立两函数表达式，利用解方程组的方法求解；(2)反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件，这些问题常常与某些点的坐标相关． 　[2017·大庆]如图2，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x＋b的图象交于A，B两点，点A和点B的横坐标分别为1和－2，这两点的纵坐标之和为1. (1)求反比例函数的表达式与一次函数的表达式； (2)当点C的坐标为(0，－1)时，求△ABC的面积． 图2 　 　　变形1答图 解：设A(1，m)，B(－2，n)， ∵m＋n＝1，∴B(－2，1－m)， ∵A，B两点都在反比例函数上， ∴1×m＝－2×(1－m)，解得m＝2， ∴A(1，2)，B(－2，－1)．将A坐标分别代入反比例函数y＝和一次函数y＝x＋b，得k＝1×2＝2，b＝1， ∴反比例函数表达式为y＝，一次函数表达式为y＝x＋1； (2)如答图，连结BC和AC， ∵B和C的纵坐标相等， ∴BC∥x轴， ∴S△ABC＝BC·(yA－yC) ＝×2×(1＋2)＝3. 　[2016·南充]如图3，直线y＝x＋2与反比例函数的图象相交于点A(m，3)，与x轴交于点C. (1)求反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标． 图3 解：(1)把点A(m，3)的坐标代入y＝x＋2，得3＝m＋2，解得m＝2， ∴点A的坐标为(2，3)， 把点A(2，3)的坐标代入 y＝，得3＝，解得k＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝； (2)对于直线y＝x＋2，令y＝0，得到x＝－4，即C(－4，0)， 设P(x，0)，可得PC＝|x＋4|， ∵S△ACP＝3， ∴|x＋4|×3＝3，即|x＋4|＝2， 解得x1＝－2，x2＝－6， ∴点P的坐标为(－2，0)或(－6，0)． 　[2017·巴中]如图4，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x0)的图象交于A(m，4)，B(2，n)两点，与坐标轴分别交于M，N两点． 图4 (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出kx＋b－0中x的取值范围； (3)求△AOB的面积． 解：(1)点A在反比例函数 y＝上， ∴＝4，解得m＝1，∴点A的坐标为(1，4)． 又∵点B也在反比例函数y＝上， ∴＝n，解得n＝2，点B的坐标为(2，2)． 又∵点A，B在y＝kx＋b的图象上， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6； (2)x的取值范围为1x2； (3)∵直线y＝－2x＋6与x轴的交点为N， ∴点N的坐标为(3，0)， ∴S△AOB＝ S△AON－S△BON ＝×3×4－×3×2＝3. 　[2017·成都]如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数的图象交于A(a，－2)，B两点． (1)求反比例函数表达式和点B的坐标； (2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标． 图5 　　　变形4答图 解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝x图象上， ∴－2＝a，∴a＝－4，∴A(－4，－2)． 又∵点A(－4，－2)在反比例函数的图象上， ∴k＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝， ∵A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，∴A，B两点关于原点O中心对称， ∴点B的坐标为(4，2)； (2)如答图，设第一象限内点P坐标为， ∵PC∥y轴，点C在直线y＝x上， ∴点C的坐标为， ∴PC＝＝， ∴S△POC＝PC·a＝·a＝＝3， 当＝3时，解得a＝＝2， ∴P； 当＝－3时，解得a＝2，∴P(2，4)． 综上，符合条件的点P的坐标为，(2，4)． 　[2017·广安]如图6，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6. (1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式； 图6 (2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9. 解：(1)∵点A(4，2)在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝4×2＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵点B在y轴的负半轴上，且OB＝6， ∴点B的坐标为