高等流体力学课件 场论张量坐标.ppt

二、梯度（gradient） 场 论 某标量场 在 P 点沿 s方向 的变化率 在 P 点 的最大变化率 梯度度量标量场的不均匀性 三、通量 散度 场 论 1.通量 某矢量场 矢量F 通过微元面积 dS 的通量为： 矢量通过有限面积S的通量为： 三、通量 散度 场 论 2.散度 矢量场中包围M点作一微元体积△V，其表面积为△S，则通过封闭曲面△S 的通量为： 如果 存在，则该极限为矢量 在M点处的散度，记为： 三、通量 散度 场 论 2.散度 高斯定理： 无源场 特例： 四、环量 旋度 场 论 1.环量 某矢量场 矢量F 沿曲线L 的线积分为： 矢量F 沿封闭曲线L 的线积分为环量： 矢量场中包围M点作微元面积为△S，其边界线△L ，则通过封闭边界线△L 的环量为： 如果 存在，则该极限为矢量 在M点处的环量面密度。 过M点所有方向中存在一个环量面密度最大的方向。 四、环量 旋度 场 论 2. 旋度 旋度：方向为环量面密度最大方向，大小最大环量面密度的矢量。 记为： 无旋场 特例： 五、拉普拉斯算子△ 哈密顿算子▽ 场 论 Laplacian Hamiltonian 六、基本运算公式 场 论 六、基本运算公式 场 论 y j j y y j jy y j y j y j j j j grad grad 2 ) ( 17) grad grad ) grad div( 16) 0 rot rot ) 15 0 grad rot 14) 0 rot div ) 13 grad div ) 12 × + D + D = D + D = = = = D = a a r r 一、标量 矢量 张量 张量初步 流体力学中遇到的各种物理量： 标量： 密度，温度 矢量： 速度 张量： 应力： 即有大小，又有方向。 由三个坐标轴方向的3个分量组成。 由9个分量组成。 二、指标表示法 求和约定 张量初步 1.求和约定 张量表示法中通常将三个坐标方向用下标1、2、3区分， 矢量的三个分量： 三个单位矢量： 则： 求和约定： 为简化书写，约定公式中同一项中如有两个指标相同时，就表示该指标从1到3求和。 二、指标表示法 求和约定 张量初步 2.哑指标（求和指标） 公式中同一项中出现两次的指标为哑指标。 由于哑指标在作求和后将消失，因此哑指标字母的选取不影响表达式的内容。 3.自由指标 公式中同一项中出现一次的指标为自由指标。 在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。 二、指标表示法 求和约定 张量初步 4.举例 ---坐标转换 思考： 的张量形式 三、克罗内克符号 置换符号 张量初步 1.Kronecker 符号 三、克罗内克符号 置换符号 张量初步 2.置换符号 27个元素 3. 的相关运算 三、克罗内克符号 置换符号 张量初步 3. 的相关运算 四、对称张量 反对称张量 张量分解定理 张量初步 1.共轭张量 P 和 Pc 互为共轭张量。 2.对称张量 若二阶张量P的分量满足： 一般表示为： 6个独立分量 四、对称张量 反对称张量 张量分解定理 张量初步 3.反对称张量 若二阶张量P的分量满足： 一般表示为： 3个独立分量 对角线各元素均为0 4.张量分解定理 二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。 五、二阶张量的代数运算 张量初步 1.张量相等 2.张量加减 3.张量数乘 3.张量点积 双点积 六、张量的微分和积分运算 张量初步 1.梯度 标量的梯度→矢量 矢量的梯度→二阶张量 n阶张量的梯度→n+1阶张量 六、张量的微分和积分运算 张量初步 2.散度 矢量的散度→标量 二阶张量的散度→矢量 n阶张量的散度→n-1阶张量 六、张量的微分和积分运算 张量初步 三.旋度 矢量的旋度→矢量 二阶张量的旋度→矢量 n阶张量的散度→n阶张量 一、直线坐标系 曲线坐标系 正交曲线坐标系 正交曲线坐标系 直线坐标系(x,y,z) 曲线坐标（q1,q2,q3） 两者区别： 曲线坐标系中的单位矢量随着空间点的不同，方向不同。 常见曲线坐标举例: 正交曲线坐标系: 三个坐标的方向相互垂直。 柱坐标 球坐标 二、基矢量 拉梅系数 正交曲线坐标系 曲线坐标系： 坐标面 坐标轴单位矢量 令： 则： 1.基矢量 二、基矢量 拉梅系数 正交曲线坐标系 2.拉梅系数 意义：沿坐标线qi的弧长 与坐标增量 的比值。 三、基矢量对坐标的偏导数 正交曲线坐标系 四、常见正交曲线坐标 正交曲线坐标系 1.柱坐标系 四、常见正交曲线坐标 正交曲线坐标系 2.球坐标 * 《高等流体力学》电子课件 研究对象： 研究流体在外力作用下宏观平衡及运动规律，以