2018数学专题 二 压轴填空题第二关以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题【解析版】.doc

专题二 压轴填空题 第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题 【名师综述】 含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 类型一 可转化为二次函数的恒成立问题 典例1．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】当时，在上是增函数 对任意实数恒成立对任意实数恒成立 ，故选A. 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理． 【举一反三】【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设,则,,故原不等式转化为,即,所以,即.故应填答案. 类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题 典例1 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】若不等式在上恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题可设则问题转化为在上恒成立，则 （ⅰ）?当时 则在上单调递增，所以 在上恒成立，与已知不符，故不符合题意． （ⅱ）当时，令 且 即时， 于是在 上单调递减，所以 即 在上成立．则在上单调递减，故在上成立，符合题意． ，即 时， 若 则 在上单调递增； 若在 则在上单调递减， 又 则在上成立，即 在上恒成立，所以在上单调递增，则在上恒成立．与已知不符，故不符合题意．综上所述， 的取值范围. 即答案为. 【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值． 【举一反三】设函数，若对所有都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】令，则 （ⅰ）若，当时， 故在上为增函数，所以， 时， 即 （ⅱ）若 方程的正根为 此时，若则，故在该区间为减函数．所以， 时， 即与题设相矛盾．综上，满足条件的 的取值范围是． 类型三 利用参变分离求恒成立问题 典例2 【河南省南阳市第一中学2018届高三第六次考试数学】已知函数对总有成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】[4，＋∞) 【解析】当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝，因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)． 故答案为[4，＋∞) 【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可． 【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为 . 【答案】 【解析】对于函数,当时, ,所以当,函数有最小值；对于函数,,当；当,所以当时,函数有最大值.又不等式恒成立，,所以,所以. 类型四 利用图像法求恒成立问题 典例3 【2018江西南昌摸底】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】不等式即： 恒成立，作出函数的图象，则正比例函数恒在函数的图象下方，考查函数： 经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为，由此可得：实数的取值范围为，故答案为． 【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围． 【举一反三】已知函数,若||≥,则的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 试题分析：当时，由，得，即，因为当时，，所以，令，要使，成立，；当时，恒成立；当时，由，得，即，化简得，而最大为，故，综上可得. 【精选名校模拟】 1．已知函数， ，若对于任意的， ，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由，则令，解得；令，解得． 在是减函数，在 是增函数，即 对