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第二轮中考复习数学习题的选择与利用 王亚权 （浙江省杭州文澜中学） 摘要：学好数学必须多做题.进入中考第二轮的复习阶段，学生已经做了相当数量的习题，积累了一定的解题经验，怎样才能做到从量变到质变的转化，这是长期以来一直困扰着教师和学生的亟需解决的问题.精选习题是提高复习效率的前提；改编习题是提高复习效率的重要手段；有效利用习题是提高复习效率的保证. 有效利用习题的原则：“量不在多，在于落实；题不在新，在于利用！” 关键词：第二轮复习；精选习题；改编习题；利用习题 长期以来，广大数学教师似乎已经形成了这样一种共识：要学好数学必须多做题，而且应该大量做题！学生更是埋头做题，因为老师告诉他（她） 分析：由于河宽（即桥的长度）是不变的，所以要使从A地到B地的路程最短，只需考虑线段BC与AD的和最小即可.将线段BC作平移变换即可求解. 解：小明的方案能使从A地到B地的路程最短.过点B作河岸的垂线，并截取BB/等于河宽CD（如图1（2）），连接AB/，交河岸于点D，则点D即为桥的位置.理由是两点之间线段最短. 本题的原型是“饮马问题”〔2〕，与此相关的习题很多，屡屡出现在各地的中考试卷上. 变式1（2006年四川·内江卷)阅读并解答下面问题． (1)如图所示，直线的同侧有A、B两点，在上求作点P，使AP+BP的值最小(要求尺规作图，保留完整的作图痕迹，不写画法和证明)． (2)如图，A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1 km，B工厂到河堤的距离BD为2 km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6 km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方? (3)通过以上若，当为何值时，的值最小，并求出这个最小值． (2)如图4，由(1)知点A/与点A关于CD对称，连接A/B交CD于点P，点P即为污水处理厂的位置．由△A/CP∽△BDP得，，即.解得. 所以污水处理厂应建在距C地2 kmAC=1，BD=2，CD=9，，A/，P，B共线时，PA/+PB=最小同（2）可. 所以当时，值最小，最小值为3. 【评注】本例从最基本的“饮马问题”的作图入手，设计了三个层层递进的问题，既考查了学生对基本问题的掌握情况，又考查了学生运用基本技能解决实际问题的能力.特别是问题（3），考查了学生运用数形结合思想的能力以及知识、方法的迁移能力.试题较好地体现了能力立意. 本例给我们的教学启示是：在注重基础知识、基本问题教学的同时，要运用类比、联想、归纳、拓展等策略提高学生的解题能力. 变式2（2009年湖北·孝感卷）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小． 答案：. 【评注】该变式将“饮马问题”放置到平面直角坐标系中，通过求对称点的坐标、函数解析式及两直线的交点坐标等问题完成解答. 变式3（2009年陕西卷）如图5，在锐角△ABC中，，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的同侧（如图6(1)），试用直尺（没有刻度）和圆规在上找出两点C和D（CD的长度为定值），使得AC+CD+DB最短（不要求写画法）. 分析：由于线段CD的长度已经确定，所以要使AC+CD+DB最短，只要使AC+DB最短即可.将线段BD平移（如图6（2））至B/C的位置，问题就转化为求AC+B/C的最小值，这由“饮马问题”的基本模型即可求解. 【评注】该变式中的线段CD相当于例1中的河宽，只不过将例1中河岸两侧的两个点变为同侧的两个点而已. 变式5 如图7（1），桌上有一个圆柱形玻璃杯，高12cm，底面周长18cm，在杯内壁离杯口3cm的A处有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3cm的B处时（即点A，B在同一轴截面上），突然发现了蜜糖，问小虫怎样爬行到蜜糖的路径最短？并求出这个最短路径. 分析：很明显，从点A到点B的最短路径，应该是在圆柱的侧面展开图上，连接点A与点B所用的线段.但这里有一个问题：A，B两点，一个在杯子的内侧，一个在杯子的外侧，小虫必须先爬到杯子上口的边沿，才能从杯的外侧进入内侧.在边沿上的这一点如何确定？如图7（2），沿经过点A的母线将圆柱形杯的侧面展开，展开图是矩形MEGH，则点B在MH，EG的中点的连线上.画出点A关于直线MH的对称点A/，利用勾股定理求得AC+BC=A/B=15cm，这个值就是所求的最小值. 【评注】该变式有两个难点：一是如何将杯子内侧和外侧的两个点转化到同一侧？二是杯子的侧面展开图该如何画？突破了这两个难点，才能用前面的模型来解决这个问题. 变式6 已知抛物线经过点A（4，0）