第一讲定积分概念.pptVIP

一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 * * a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 1.定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意： 2．定理（可积的必要性） 证明：反证法。假若f(x)无界，说明对任一分割T，必存在属于T的某个小区间 ，f在 上无界。在 的各个小区间上任意取定 。现对任意大的正数M，由于f 在 上无界，故 ， 使得 ， 于是有 由此可见，对于无论多么小的 ， 按上述方法选取点集时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给定的正数，这与f在 上可积相矛盾。 注：这个定理指出，任何可积函数一定是有界的，但要注意，有界函数却不一定可积。 例题： 证明狄利克雷函数 在 上有界但不可积。 证明： 显然 对于 的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T的任一小区间 上，当取 全为有理数时， ；当取 全为有理数时， 。 所以不论 多么小，只要点集取法不同（全取有理数或全取无理数），积分和有不同极限，即 在 上不可积。 定理1 定理2 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 几何意义： * * * *