第一节不定积分概念与性质 - 中央财经大学应用数学学院.pptVIP

* * 第五章 不定积分 经济数学——微积分 ——不定积分的概念与性质 中央财经大学 一. 不定积分 1. 原函数的定义 定义 定理 问 题 什么样的函数的原函数一定存在？ 结论 结论 结论 定义 一. 不定积分的概念 每一个求导公式, 反过来就是一个求原函数的公式, 加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式. 函数 在某区间上的一个原函数 ， 在几何上表示一条曲线 ，称为积分曲线。 这条曲线上点 处的切线斜率等于 ，即 满足 。 由于函数 的不定积分是 的全 体原函数 （ 为任意常数），对于每一个给定的 值时，都有 一条确定的积分曲线，当 取不同的值时，就得到不同的积分曲线， 所有的积分曲线 组成了积分曲线族。因为任意两条积分曲线 的纵坐标之间只相差一个常数（见定理），故它们都可以由曲线 沿纵坐标轴方向上下平移而得到。 由于积分曲线族中的每一条积分曲线在点 处的切线斜率都等于 ，因此它们在点 处的切线互相平行。 二、不定积分的几何意义 它是一族抛物线。（如图） 所以 设所求曲线为 ，由题意可知，该曲线上点 处的切线 如果已知 的原函数满足条件：在点 处原函数的值 ，就可以确定积分常数 的值，从而找到一个特定的原函数。在几何上它就是过点 的那一条积分曲线，具体的做法是：把已知点 代入 ，求得常数 就可得所要求的积分曲线。 【例 】求过点 ，且其切线的斜率为 的曲线方程。 解： 斜率为 ，即 将 代入上式，得 因此，所求曲线的方程为 性质 1 三.不定积分的基本性质 性质 2 例1 解 例2 解 绝对值 例3 解 利用加一项、减一项的方法. 例4 解 ? 利用加一项、减一项的方法. 例5 解 部分分式法 * *