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计算机数学基础(2)典型例题讲解 第9章 数值分析中的误差 考试知识点：误差、有效数字。（6%） 考试题型：选择题、填空题。 例1 设x*= (=3.1415926…,若x*的近似值x为3.14，3.1415，3.143，求x的有效数字位数. 解：若x=3.14＝0.314×101，（m=1） （l=3） 故x=3.14有3位有效数字。 若x=3.1415＝0.31415×101，（m=1） （l=4） 故x=3.1415有4位有效数字。 若x=3.143=0.3143×101，（m=1） （l=3） 故x=3.143有3位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000.00 解：① x1=2.000 4＝0.200 04×101, (m=1) 绝对误差限ε(x1)=0.000 05=0.5×10 1―5，(l=5) 故x=2.000 4有5位有效数字。 又a1=2，相对误差限。 或。 ② x2=－0.002 00=―0.200×10―2，(m=-2) 绝对误差限ε(x2)=0.000 005=0.5×10-5，（l=3） 故x2=－0.002 00有3位有效数字. 又a1=2，相对误差限(r==0.0025 ③ x3=9 000.00=0.900000×104，(m=4) 绝对误差限ε(x3)=0.5×10-2， （l=6） 故x3=9 000有6位有效数字， 又a=9，相对误差限(r＝＝0.000 000 56 由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 第10章 线性方程组的数值解法 考试知识点：高斯列主元消去法、雅可比迭代法、高斯((赛德尔迭代法、迭代解的收敛性。（24%） 考试题型：选择题、填空题、计算题、证明题。 1. 高斯顺序消去法 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x3=－1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T. 2. 高斯列主元消去法 例2用列主元消去法解线性方程组，计算过程保留4位小数。 解　[A…B]=(选a21= -18为主元) x3=3.0000, x2=2.0001, x1=1.0000 方程组的解为X=(1.0000,2.0001,3.0000)T 3. 雅可比迭代法(简单迭代法) 例3取初始向量X (0)=(0,0,0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 (k=0,1,2,3,…) 第1次迭代, k=0 X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T, 第2次迭代，k=1 X(2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k=2 X(3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k=3 X(4)＝(1,1,1)T 4. 高斯((赛德尔迭代法 例4 用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组 取初始值(1.04,1.30,1.45,1.55)T，求 X(2)，并要求写出迭代公式，计算过程中保留2位小数. 解 本题的迭代格式为 (k=0,1,2,…) 当k=0时，X(0)＝(1.04,1.30,1.45,1.55)T， X(1)=(0.75,0.97,1.20,1.40)T X(2)=(0.81,1.00,1.27,1.40)T 5. 迭代法的收敛性 例5 证明以矩阵A＝为系数矩阵的线性方程组，它的雅可比迭代解收敛，而高斯－赛德尔迭代解发散． 证明 线性方程组的系数矩阵为 A＝ 于是 D＝ D－1＝D ＝ ＝ 雅可比迭代矩阵为 B0＝－＝－ B0的特征方程为 得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛. 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G＝－ ＝－ ＝ G的特征方程为 解得特征根为(1=0，(2,3=2. 由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散. 第11章 函数插值与最小二乘拟合 考试知识点：拉格朗日插值多项式、均差与牛顿插值多项式、直线拟合、二次多项式拟合。（20%） 考试题型：选择题、填空题、计算题、证明题。 1. 拉格朗日插值多项式 例1 已知数据表 xk 10 11 12 13 f(xk) 2.302 6 2.397 9 2.484 9 2.564 9 试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．并回答用线性插值计算f(11.75)，应取哪两个点更好？ 解 因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函