数值计算中误差.pptVIP

第一章 主要内容 数值计算的误差 误差举例 误差举例 绝对误差 相对误差 相对误差 有效数字 有效数字 有效数字 有效数字 误差估计 误差估计 误差估计 数值稳定性 数值稳定性 数值稳定性 数值稳定性 数值稳定性 数值计算注意事项 数值计算注意事项 数值计算注意事项 作业 * * 数值计算的误差 计算方法 误差的来源 几个基本概念 误差估计 数值稳定性/误差的传播与积累 数值计算中的一些注意事项 绝对误差、绝对误差限/误差限 相对误差、相对误差限 有效数字 误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科学计算中的一个十分重要的概念 误差的来源 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 —— 观测误差 数学模型的数值求解 —— 截断误差（方法误差） 机器字长有限 —— 舍入误差 在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响 例：近似计算 解法之一：将 作Taylor展开后再积分 S4 R4 取 则 称为 截断误差 保留小数点后 4 位数字 舍入误差 绝对误差： x — 精确值x* — 近似值 则称 ?* 为 绝对误差限/误差限 若存在一个正数 ?*，使得 工程上通常记为：x = x* ? ?* |e*| = |x* - x| ? ?* 绝对误差 可能取正，也可能取负 绝对误差 越小越具有参考价值 但 绝对误差 却不能很好地表示近似值的精确程度 I can tell that this part’s diameter is 20cm?0.1cm. Of course mine is more accurate ! The accuracy relates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value I can tell that distance between two planets is 1 million light year ±1 light year. 相对误差： x* - x er* = x 若存在正数 ?r*，使得 |er*| ? ?r*， 则称 ?r*为相对误差限 由于真值难以求出，通常也使用下面的定义作为相对误差 x* - x er* = x* 近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限 有效数字：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位，且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，则称 x* 有 n 位有效数字 x* = ?a1.a2···an?10m (a1?0) 且有 |x - x*| ? 0.5 ? 10m-n+1 则 x* 有 n 位有效数字 设 x*为 x 的近似值，若 x* 可表示为 等价描述 例：? = 3··· ，近似值  x1 = 3.1415，x2 = 3.1416 问：x1, x2 分别有几位有效数字？ 例：写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值 187.9325，0.037855，8.000033 187.93，0.037856，8.0000 4，5 注：数字末尾的 0 不可以随意添加或省略！ 思考：设 x* = ?a1.a2···an?10m (a1?0)，且 |x - x*| ? 0.5 ? 10k 则 x* 有 m+1-k 位有效数字? 定理：设近似值 x* 可表示为 x* = ?a1.a2···al ?10m (a1?0)， 若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足 1 ?r* ? 2a1 ? 10-(n-1) 反之，若 x* 的相对误差限满足 则 x* 至少有 n 位有效数字。 1 ?r* ? 2(a1+1) ? 10-(n-1) 有效位数越多，相对误差限越小 误差估计：估计误差限和相对误差限 记 ?(x*) 为 x* 的误差限，则有 ?(x1*? x2*) ? ?(x1*) + ?(x2*) ?(x1*x2*) ? | x2* |?(x1*) + | x1* |?(x2*) ?(x1*/x2*) ? | x2* |?(x1*) + | x1* |?(x2*) | x2* |2 设一元函数 f (x) 可微，x*为 x 的近似值，则有 ?r( f(x*) ) 条件数 记为 Cp 设多元函数 f (x) 可微， x*=(x1