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常微分方程(ODE)数值解 能源学院，航空航天中心 1 提纲 概念 差商法，数值积分法 Euler法 龙格库塔法 Runge Kutta 能源学院，航空航天中心 2 ODE数值解问题 解决微分方程初值问题的数值方法。以⼀维、⼀阶微分方程初值 问题为例，高阶问题可以转化为多维问题，多维问题的求解方法 与⼀维⼀致。 ( dy = f (x, y (x)) dx y (x ) = y . 0 0 y0 y x , x , · · · , x , · · · 问题：由 出发，求解 在⼀系列离散点 1 2 n 处的近似值 y , y , · · · , y , · · · 1 2 n 能源学院，航空航天中心 3 差商法 前向差商： 后向差商： 0 y (xn+1) y (xn ) 0 y (xn ) y (xn+1) y (xn ) ⇡ y (xn+1) ⇡ h h 引入参数 ✓ 2 [0, 1] ： 0 0 y (xn+1) y (xn ) ✓y (xn ) + (1 ✓)y (xn+1 ) ⇡ h 0 0 y (xn+1 ) ⇡ y (xn ) + h(✓y (xn ) + (1 ✓)y (xn+1 )) yn+1 = yn + h ✓fn + (1 ✓)fn+1 能源学院，航空航天中心 4 数值积分法 y (xm ) = y (xn ) + Zxxm f (x, y (x))dx, m n n 将矩形公式代入： yn+1 = yn + hf (✓xn + (1 ✓)xn+1 , ✓yn + (1 ✓)yn+1) 仅适用于⼀维问题，计算方法复杂。 能源学院，航空航天中心 5 Euler 法 前向差商：