4.2 不定积分换元法.docVIP

《 高等数学 》教案 （首页） 授课时间 月 日 第 次课 授课章节 4.2不定积分的换元法 任课教师 及职称 教学方法 与手段 方法：讲授法、谈话法、讨论法、演示法、参观法、调查法、练习法、实验法 、引导发现法、自学辅导法、案例教学法、情境教学法、实训作业法等。 手段：常规或现代（多媒体投影、音像资料、各种教具、实物、案例素材文件等。 教学内容与过程： 一.复习提问：1、原函数的概念、原函数族定理； 2、不定积分的定义、几何意义、性质； 二.引入新课： 4.2不定积分的换元法 4.2.1第一换元法 有些不定积分仅用基本积分公式不能求出其结果，因此有必要寻求新的积分方法。本节介绍计算不定积分的最基本也是最重要的方法—换元法。 例1 求不定积分 解 如果凑上一个常数因子2，使之成为 ， 令，则 ， 回代，求得原不定积分 . 更一般地，若函数是函数的一个原函数，是可微函数，且复合函数有意义，根据复合函数求导法则 ， 及不定积分的定义4.2，有 ， 由于 ， 从而 . 综上所述，可得如下结论： 第一换元法 设是连续函数，是的一个原函数。如果连续可微，且复合函数有意义，那么 这种求不定积分的方法称为第一换元法。 由于第一元法的基本思想就是将被积表达式变为 的形式，也就是把被积函数分解成两个因子的乘积，其中一个因子与凑成某一函数的微分，而另一因子是的函数，经过这样的变形后被积表达式变为容易积分的形式，所以第一换元法也称为凑微分法。 凑微分时，要灵活运用以下微分公式： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 例2 求不定积分. 解 被积函数为复合函数，将它分解为 ， 而 所以 . 当运算熟练后，复合函数的分解过程可以省略。 例3 求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）. 解 （1）； （2）； （3） 推广得 ； （4）. 推广得 . 例4 求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 解 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6） 例5 求下列不定积分： （1）； （2）； （3）. 解 （1） ； （2） ； （3） . 对于和形式的不定积分求法如下： （1）当时（降幂直至一次幂）； （2）当时（变成关于的幂的形式，再积分）. 例6 求下列不定积分： （1）； （2）. 解 （1） （2）解法一 解法二 . 在运用第一换元法求不定积分时，除要用到常用的凑微分公式外，还要用到如“添一项减一项”、“运用三角函数的恒等变形公式”等技巧，所以要多做联系，灵活掌握。 三.巩固练习：P103 1(1，3，5，7，9，11，13，15，17) 四.内容小结：第一类换元积分法： ， 五.布置作业：P103 1(2，4，6，8，10，12，14，16，18) 教学内容与过程： 一.复习提问：第一类换元积分法： ， 二.引入新课 通过举例 引入 4.2.2 第二换元法 第一换元法使用的范围相当广泛，但对于某些函数的积分，不适宜用第一换元法. 第二换元法 已知函数连续，对不定积分作变量代换.如果为单调、可导函数，连续，且， 那么，对于自变量有 . 上述方法表明，对不定积分可以通过变量代换达到求解的目的.关键在于：变量代换的选择要得当，使得以为新积分变量的不定积分易求.最后还须将原函数中的变量用回代，得到变量的函数. 例7 求下列不定积分： （1）； （2）. 解 （1）令，即，从而， ； 回代，得 ； （2）令，则， ， . 回代，得 . 当被积函数中出现根号而又不能通过凑积分变成基本积分公式表中的某种形式时，需采用第二换元法，将整个根式设为. 第二换元法除了上述代换外，还经常采用三角代换，例如： 若被积函数含有，一般令或； 若被积函数含有，一般令或； 若被积函数含有，一般令或. 例8