二面角求法之面面观1.docVIP

二面角求法 求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题. 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、、、例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 . 例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE： EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起 到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连 接A1B、A1P. (Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值 2 三垂线法 这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面 内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB ⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法. 例3(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求： (Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－－事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果. 例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别 为4、3、，求二面角的大小. 4 面积法 如图1，设二面角C-BD-C1的大小为，则在Rt△COC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便. 例5 如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小. 5 变式二面角的求法 以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略. 5.1 “无棱”二面角的求法（讲解） 5.2 平面图形折转后的二面角的求法 例6(2005年湖南试题)如图7(1)，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图7(2). (Ⅰ)求证：AC⊥BO1； (Ⅱ)求二面角O-AC-O1的大小. 5.3 求二面角转移法 转化是重要的数学思想之一，当所求的二面角为钝角时，可先求其“补角”.转移也是一种转化，就是将待求的二面角转移到另一个简单的环境之中，从而得解. 例7例2(2005年重庆高考试题)如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求 (Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A-EB1-A1的平面角的正切值. 4 图1 A M O A1 A1 D C B A F D1 O1 C1 B1 Q P B C E C B P E F 图2(2) 图2(1) Q l A B P 图3 l B A1 图4 A B1 E F P 图5 l C B A G H B1 A1 E F 图7(2) D O O1 A B C E 图7(1) B C D O O1 A C1 B C E 图6 M A D G H B1 A1 C1 B C E 图6 M A D A D C B B1 C1 A1 图8 G E