轨迹和方程教学.docVIP

第二章 轨迹与方程 本章在上章建立的空间点与径向量及有序实数组的对应基础上，先介绍平面曲线的方程，然后过渡到曲面与空间曲线方程的研究，从而建立轨迹与方程的对应。 §2.1平面曲线的方程 教学目的：正确理解空间曲线与曲线方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲线方程的基本方法. 教学重难点: 正确的理解空间曲线方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲线方程. 教学过程: 一.曲线的一般方程 1.平面曲线(包括直线): 具有某种特征性质的点的集合,即: ①曲线上的点都具有这些性质; ②具有这些性质的点都在曲线上. 反映: 曲线上的点满足一定的互相制约的条件.一般用方程或来表达. 2. 定义2.1.1 当平面上取定了坐标后,如果一个方程与一条曲线有着关系: (1) 满足方程的必是曲线上某个点的坐标; (2) 曲线上任何一点的坐标满足这个方程,那么这个方程就叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形. 由上定义可得: ① 研究曲线的几何问题转化为研究其方程的代数问题. ② 已知曲线,要求它的方程,实际上就是在给定的坐标下,将这条曲线上的点的特征性质,用关于曲线上的点的两个坐标的方程来表达. 例1 求圆心在原点,半径为的圆的方程. 解: 根据圆的定义,圆上任意点的特征性质,即在圆上的充要条件是到圆心的距离等于半径,即 应用两点距离公式,得 (1) 两边平方得 (2) 由于方程(2)与(1)通解,所以(2)即为所求圆的方程. 完全类似的,可以求圆心在半径为的圆的方程是: . 注: 求曲线的方程,有时在化简过程中,会增添不属于给定条件的内容, 此时,必须从方程的开始检查一下,把方程中代表那些不符合给定条件的点限制掉. 例2已知两点和,求满足条件的动点的轨迹方程. 解: 动点在轨迹上的充要条件是 用点的坐标来表达就是 (3) 移项得 两边平方整理得 (4) 再两边平方整理得 (5) 因为方程(2)和(3)同解,而方程(4)与(3)却不同解,但当方程(4)附加了条件 , 即后,方程(4)与(3)同解,从而方程(4)与(3)同解,所以方程 为所求动点的轨迹方程. 二.曲线的参数方程 当动点按照某种规律运动时，与它对应的径向量也将随着时间的不同而改变（模与方向的改变），这样的径向量，称为变向量，记做.如果变数的每个值对应于变向量的一个完全确定的值（模与方向），那么就说是变数的向量函数，并把它记做： ＝， （6） 设平面上取定的标架为,向量就可以用它的分量来表达,这样的向量函数（6）就可以写为 （7） 定义2.1.2 若取的一切可能取的值,如图2-2,由（7）表示的径向量的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径向量，而这径向量可由的某一值通过（7）完全决定，那么就把表达式（7）叫做曲线的向量式参数方程，其中是参数。 由于曲线上点的径向量的分量为，所以曲线的参数方程也常写成下列形式： (8) (8)式叫做曲线的坐标式参数方程.. 从(8)式中消去(若可能的话),可以得到曲线的普通方程: 例3 已知直线通过定点,并且它与非零向量共线,求直线的方程. 解: 设为直线上的任意点,并设如图2-3,那么点在上的充要条件为向量与共线,也就是 这里的是随着点而定的实数.又因为 所以 = 即 + 这就是直线的向量式参数方程,式中的为参数. 小结：1. 直线的向量式参数方程为: + 2. 直线的坐标式参数方程为: 3. 直线的对称式方程或标准方程为: 4. 直线的一般方程:,其中 5. 给定两直线: 的方向向量分别为:, 则有如下结论: 两直线相交的充要条件为: 两直线平行的充要条件为: 两直线重合的充要条件为: 在直角坐标系下,两直线的交角为: 从而有 . 例4. 一个圆在一直线上无滑动的滚动,求圆周上的一点的轨迹. 解: 取直角坐标系,设半径为的圆