数值分析1-2 数值计算的误差教程教案.pptVIP

§2 数值计算的误差;一、误差来源的类型 ;2.观测误差 ; 当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差;例如：在微积分中sinx可展开成;二、误差分析的重要性 ;容易看出系数矩阵完全相同，而常数项矩阵有微小差别，右端系数1.9999变成2.0001，其误差为;但对应的解为;据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。;连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。 排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。;三、绝对误差和绝对误差限;绝对误差的性质;定义 若指定一个适当小的正数 ，使;绝对误差限的性质;(2)绝对误差限是正的，有无穷多个; 思考题：设有两个温度计，其一测量1000℃时的绝对误差限为5℃，而另一个测量100℃时的绝对误差限为1℃。 问：哪一个温度计更精确？;答：虽然后者绝对误差限的数值较小，但第一种温度计更为精确。;定义 绝对误差与准确值之比;(2)由于准确值x未知，故实际问题中，当| |较小时，常取;当| |较小时，可用下式计算; 当x有很多位数字时，常按照“四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值;取 x2* = 3.14 作为π的近似值，则;若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n??有效数字，或说x*精确到该位;例：x1*= 3， x2*= 3.14， x3*= 3.1416作为π的近似值，则有效数字分别有多少位？ 答：1，3，5;例：设x = 4.26972，x1*= 4.27， x2* = 4.270分别是按四舍五入得到的近似值，问它们有何区别？ （请同学们做！） ; 近似值后面的零不能随便省去！;有效数字的性质 (1)有效数字越多，则绝对误差越小 (2)有效数字越多，则相对误差越小;六、数值运算的误差估计;解：;故相应的误差限计算如下;(2)二元函数的误差估计 问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值为x1*, x2* ，则y的误差如何计算？;由于;与前面类似的推导可得多元函数的误差估计;2. 加减乘除运算的估计误差 （注意：下列公式均省略了“*”）;即;加法的所有误差估计公式：;(2)减法运算：;减法的所有误差估计公式：;◆和(差)的误差限等于误差限之和;(3)乘法运算;因为;积的相对误差(限)等于相对误差(限)之和;乘法的所有误差估计公式：;(4)除法的所有误差估计公式：;注意： ;例： 设有三个近似数， a=2.31, b=1.93, c=2.24 它们都有三位有效数字，试计算p =a+bc，ε(p)和εr(p)并问：p的计算结果能有几位有效数字？;解：由题意可知;因为;作业： 习题 1，2，3，4