函数的极限教材课程.pptVIP

1.3 函数的极限 1.3.1 函数极限的概念 定义1.3.1 在 点的某个去心邻域内 有定义， 使得对于任意给定的正 数 总存在正数 使得当 时，有 那么称常数 为函数 当 时的极限， 或 设函数 如果存在常数 记作 , , 如果这样的常数 不存在， 时 没有极限， 不存在. 定义1.3.1可简单地表达为 当 时，有 那么称当 习惯上表达成 函数 当 时以 A为极限的几何解释: 任意给定一个正数 作平行于 轴的两条直线 及 ,对于给定的正数 存在 着点 的一个去心 邻域 当 ， 时， 时，但 时， 也就是这些点落在这个带形 区域内. 图1.16 成立， 即当 有不等式 例1.3.1 此处 为一常数. 证明 对 由于 所以，可任取 当 时，总有不等式 成立. 例1.3.2 证明 对 由于 所以， 取 当 时，有不等式 成立. 证明 证明 从而 从而 ， 例1.3.3 证明 由于 要使 只要 取 则当 满足 时， 成立. 证明 对 从而 ， 有 例1.3.4 证明函数 ,当 时， 的极限不存在. 证明 图1.17 所以 不存在(图1.17). 因为 2. 自变量趋于无穷大时函数的极限 的绝对值无限增大称做 趋于无穷大，记 定义1.3.2 当 ( 是某一正 数)时有定义, 对于任意给定 的正数 (无论它多么小), 使得 当 时，有 那么称常数 为函数 当 时的极限， 或 A (当x 时). 作 设函数 如果存在常数 总存在正数 记作 定义1.3.2 当 时，有 如果 且无限增大(记作 那么只要 把上面的定义中的 改为 就可得 的定义. 而 无限 增大(记作 那么只要把 改为 便得 的定义. 可简单地表达为 ， 同样， ), ) 函数 当 以 为极限的几何解释: 作直线 则总存在着一个正数 使得当 时， 的图 形位于这两条直线之间(图1.18). 图1.18 函数 例1.3.5 证明 由于 要使 只要 所以，可取 则当 时， 成立， 直线 是函数 图形的水平渐近线. 一般地，如果 那么称直线 为函数 的图形的水平渐近线. 证明 即可， 有不等式 因此 ， ， 1.3.2 函数极限的性质 定理1.3.2 (函数极限的唯一性) 如果 存在， 那么这个极限唯一. 时，此定理仍然成立. 当 定理1.3.3 (函数极限的局部有界性) 如果 那么存在常数 和 使得当 时， 证明 根据 的定义， 对于 存在 当 时， 有不等式 从而 记作 于是有 有 取正数 定理1.3.3＇(函数极限的局部有界性) 如果 那么存在常数 和 使得当 时，有 定理1.3.4 (函数极限的局部保号性) 如果 而且 (或A0)， 的某一去心 ( )邻域 时， 那么存在点 有 证明 的情形证明. 根据 的定义， 当 时，有不等式 即 成立， 类似可证 的情形. 取正数 仅就 存在 因为 故 定理1.3.4＇ (函数极限的局部保号性) 如果 而且 (或A0)， 时，有 推论1.3.1 如果在 的某去心邻域内 而且 那么 推论1.3.1＇ 如果当 时， 而且 那么 那么存在