二次型 线代课件.教程教案.pptVIP

第六章 二次型 考点总结 二次型的可逆/正交变换下的标准型 1.与实对称阵的正交相似对角化问题的联系 2.与二次曲面的联系 合同矩阵问题 正定性的判别与讨论 概念 1、    二次型及其矩阵表示； 合同矩阵有那些是相同的？ 秩 正（负）惯性指数 问：行列式，特征值相同吗？ 3、    二次型的秩； 4、    标准型，规范型，正（负）惯性指数； 性质 实二次型可通过正交变换化为标准型（此标准型称为正交变换下的标准型）； 惯性定理：实二次型可通过可逆变换化为标准型，其中非0系数的个数等于秩，正（负）系数的个数等于正（负）惯性指数，且正（负）惯性指数是合同不变的； 注意 等价的充要条件是秩相等； 合同的充要条件是正负惯性指数相等； 特征值相等不是相似的充要条件， 而是必要条件 但对实对称阵是充要条件 07年（数1-4），4分 05年考题 矩阵合同问题 注 对于实对称阵A和B 1. A与B相似⇔A与B有相同的特征值(含重数)； 2. A与B合同⇔A与B有相同的正负惯性指数; 3. A与B相似⇒ A与B合同，但A与B合同⇏ A与B相似 基本题型： 二次型及矩阵表示； 基本题型： 将二次型在正交变换下变成标准型（正交变换下的标准型） 基本题型： 用配方法求二次型在可逆变换下的标准型； 基本题型： 正定性的判断，方法： (1) 定义；（2）配方；（3）特征值； （4）顺序主子式；（5）正惯性指数。