《医用高等数学》（第二版）6-6二重积分培训资料.pptVIP

第六节 二重积分;一、二重积分的概念;曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是 xOy 面上的闭区域 D，侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，顶是由二元连续函数 z=f(x,y) 所表示的曲面，并假设 f(x,y)?0。这种立体叫做曲顶柱体，现在来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积。;y;（1）分割：将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 ??1, ??2,…,??n，分别以这些小闭区域 ??i 的边界曲线为准线，作母线平行于 z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体，它们的体积分别记为 ?V1,?V2,…,?Vn。;（4）取极限：令 n 个小闭区域直径中的最大值（记作 ?）趋于零，上述和式极限就是所求曲顶柱体的体积 V，即;平面非均匀薄片的质量 设有一平面薄片在 xOy 面上占有闭区域 D，它在点 (x,y) 处的面密度为 ?(x,y)，这里 ?(x,y)?0 且在 D 上连续。现在要计算该薄片的质量 M。;x;（1）分割：将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 ??1, ??2,…,??n，这些小薄片的质量分别记为 ?m1,?m2,…,?mn。;（2）近似替代：当这些小闭区域的直径（指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于 ?(x,y) 连续，对同一个小闭区域来说，?(x,y) 变化很小，这些小区域可近似地看作均匀薄片。在每个小闭区域 ??i（这小闭区域的面积也记作 ??i）中任取一点 (?i,?i)，把 (?i,?i) 处的面密度 ?(?i,?i) 作为整个小闭区域内面密度的近似值，则每一小薄片质量的近似值为 ;（3）求和：把这 n 个小薄片质量的近似值相加，便得到薄片质量 M 的近似值，即;（4）取极限：令 n 个小闭区域直径中的最大值（记作 ?）趋于零，上述和式极限就是所求薄片的质量 M，即;高等数学 06-06-15;高等数学 06-06-16;高等数学 06-06-17;高等数学 06-06-18;y;性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号外面，即;性质2 两个（或有限个）函数代数??的二重积分等于各函数的二重积分的代数和，即;性质3 如将闭区域 D 分成两个子闭区域 D1、D2，则;性质4 闭区域 D 的面积 ?，等于在该区域上被积函数为1的二重积分，即;性质5 若在闭区域 D 上， f(x,y)?g(x,y)，则;性质6 设 M、m 分别是二元函数 f(x,y) 在闭区域 D 上的最大值与最小值，? 是闭区域 D 的面积，则;性质7（积分中值定理） 设二元函数 f(x,y) 在闭区域 D 上连续，闭区域 D 的面积为 ?，则在闭区域 D 上至少存在一点 (?,?)，成立;三、二重积分的计算;利用直角坐标计算二重积分;高等数学 06-06-29;高等数学 06-06-30;D;D;D;后积变量的上下限均为常数，而先积分的积分限一般是后积分的积分变量的函数（除非积分区域 D 为矩形）。;高等数学 06-06-35;例 计算 ，其中 D 为 ：?2?x?2， ?1?y?1。;例 计算 ，其中 D 由直 线 x=1，x=2