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《如何选择最佳方案》案例 老河口市第八中学 刘 军 设计意图：四月下旬已到了九年级学生第二轮专题的复习讲评阶段，函数、方程与不等式的建模问题是最近几年中考命题的热点、难点问题，因此，帮助学生读图、审题、获取信息、建立模型是解决此类问题的关键。 教学内容：利用建立数学模型解决《如何选择最佳方案》问题。 教学目标： 1、经历日常生活中的实际问题，通过建立数学模型使学生感受到数学在实际生活中的应用价值。 2、能结合问题找出变量间的关系，并运用函数知识来确定最佳方案。 教学过程： 一、创设情境： 师：“五一”黄金周即将来临，同学们想利用假期外出旅游吗？ 生：（同学们齐声答）想！ 师：我校准备组织师生385名用42座、60座两种类型的客车若干辆，如何选择乘车方案才能使乘车费用最低，老师想请大家来帮忙选取方案好吗？ 生：好！ [点评]教师从学生感兴趣的假期旅游活动导入，不但激发了学生强烈的学习兴趣，而且从实际生活中的实例激起了学生对解决问题的挑战。 出示例题：“五一”黄金周期间，我校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆320元，60座客车的租金每辆460元。 请同学们想：(1)如果单独租42座客车需 辆，租金为 元； (2)如果单独租60座客车需 辆，租金为 元。 （同学们大多都能写出答案，但有个别学生错在仍采用四舍五入法求车辆数，因此教师对此类问题进行说明） 问题(2)：若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种节省租金，请你设计一下有几种租车方案。 问题(3)：请你帮助我校选择一种最节省的租车方案。 (二)分析解决问题： 师：第(2)个问题中求最佳租车方案，要考虑哪些因素？ 生1：要考虑租车费用不超过方案(1)中的最低租车费用。 生2：还要考虑到两种客车的乘坐人数不少于385名。 师：同学们真行，特别是生2能全面来考虑问题，那么谁能根据生1的问题建立数学模型？ 生3：我能。因为单独租42座客车 需10辆，租金为3200元，单独租60座客车需7辆，租金为3220元。设租42座客车x辆，则租60座客车为(8-x)辆，可列不等式为：320x+460(8-x)≤3200； 而两种客车所乘总人数可列不等式为：42x+60(8-x)≥385； 于是组成方程组为： 320x+460(8-x)≤3200 42x+60(8-x)≥385 求出x的取值范围，然后判断有几种租车方案。即3.4≤x≤5.3，有两种方案：一、租42座客车4辆，租60座客车4辆； 二、租42座客车5辆，租60座客车3辆。 师：这位同学分析、回答得很好，大家鼓掌欢迎。 请同学思考选择哪种方案最节省？ [生思考，教师巡查]学生甲：我认为租车费用为y=320x+460(8-x)，即y=-140x+4680，当x取问题(2)范围内的最大值，即x=5时，y有最小值为3910元。其他学生都赞同这种说法。 师：大家发言比较积极，也比较好！对于这样的问题，你们还有没有兴趣？ 生：（齐答）有！ 师：好！（多媒体出示题目内容） 在双休日，某公司决定组织48名员工到公园坐船，公司先派一名经理去了解船只的租金情况，价格如下： 船型 每只限载人数 租金（元） 大船 5 3 小船 3 2 问题(1)：若只租大船需付租金 元，只租小船需付租金 元？ 问题(2)：要求既租大船，又租小船，且所租船只为12只（允许有空位），有几种租船方案？ 学生独立思考后分组交流，约3分钟后，教师让学生自由说说自己列出的关系式及表达的意义。 （教师点拨：大船每只坐5人，租金3元，小船每只坐3元，租金2元，因此尽可能坐大船，一方面便宜些，另一方面从租大船的范围来确定租船方案） 师：谁到黑板上列出关系式？ 生2：设租大船x只，则小船为(12-x)只， 则有： 5x+3(12-x)≥48 ① 5x+3≤48 ② 解得：6≤x≤9，共有四种方案： 一、租大船6只，租小船6只； 二、租大船7只，租小船5只； 三、租大船8只，租小船4只； 四、租大船9只，租小船3只。 师：为什么考虑5x+3≤48？ 生：因为既租大船，又租小船，小船只数至少为1只，所以建立了不等式②。 师：回答得很好，考虑得也很周密。希望大家继续认真听讲，回答问题。 问题(3)：若考虑员工需求和经费，要求既租大船，又租小船，并且租金不高于30元，最节省的租船方案是什么？需要多少租金？ 师：小组合作交流，想好后举手说说自己的看法。 生4：考虑人数和费用，可列方程组为： 5x+3(12-x)≥48