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固体物理补充习题 （十四系用） 1. 将半径为R的刚性球分别排成简单立方（sc）、体心立方（bcc）和面心立方（fcc）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为rp、rb和rf的小刚球，试分别求出rp/R、rb/R和rf/R的最大值。提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。 2. 格常数为a的简单二维密排晶格的基矢可以表为 (1)求出其倒格子基矢和, 证明倒格子仍为二维密排格子； (2)求出其倒格子原胞的面积(b 。 3. 由N个原子（或离子）所组成的晶体的体积V可以写为V＝Nv = N(r3，其中v为平均一个原子（或离子）所占的体积，r为最近邻原子（或离子）间的距离，(是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的(值: (1) sc结构 (2) fcc结构 (3) bcc结构 (4) 金刚石结构 (5) NaCl结构。 4. 设两原子间的相互作用能可表示为 其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；(、(、n和m均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n m 。 5. 设晶体的总相互作用能可表示为 其中，A、B、m和n均为大于零的常数，r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r0和晶体的相互作用能U0；(2)设晶体的体积可表为V＝N(r3，其中N为晶体的原子总数，(为体积因子。若平衡时 晶体的体积为V0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K为 6. 设有一由2N个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式： 式中，(和(为参数；R为最近邻离子间距。若晶体的Madelung常数为(，最近邻的离子数为Z，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。 7. 由N个原子组成的一维单原子晶体，格波方程为，若其端点固定， (1)证明所形成的格波具有驻波性质，格波方程可表为； (2)利用边界条件xN = 0，求q的分布密度和波数的总数； (3)将所得结果与周期性边界条件所得的结果进行比较并讨论之。 8. 由2N个（设N很大）带电荷(q的正负离子相间排列的一维晶体链，最近邻之间的排斥能为B/Rn，(1)试证在平衡时，晶体链的互作用能为 ；(2)若晶体被压缩，使，设( ( 1，证明在晶体被压缩过程中，外力对 每一个离子所做的功的主项平均为，其中， 。 9. 由N个原子组成的一维单原子链，近邻原子间的相互作用能可表为 ， 其中x为近邻原子间距。试求 (1)平衡时的近邻原子间距x0与相互作用能u0；(2)若只考虑近邻原子间的相互作用，求原子链的弹性模量K。 10. 若一维单原子链的格波方程取为，证明： (1)格波的总能量为，这里m为原子质量，(为恢复力系数，求和指标n遍及所有原子； (2)每个原子的时间平均总能量 。 11. 质量分别为M和m（设M m）的两种原子以和相间排成如图所示的一维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为(， (1)写出每种原子的动力学方程式； (2)写出格波方程式； (3)导出色散关系式。 12. 在坐标纸上画出二维正方晶格的前五个布里渊区图形。 13. 由N个原子组成的一维(链长为L)、二维(面积为S)和三维(体积为V)简单晶格晶体，设格波的平均传播速度为c，应用Debye模型分别计算：(1)晶格振动的模式密度g(()；(2)截止频率(m；(3)Debye温度(D；(4)晶格热容CV；(5)晶体的零点振动能E0 (用N和(m表示)。 14. 由N个质量为m的原子组成的一维单原子链，近邻原子间距为a，相互作用的力常数为(，用格波模型求：(1)晶格振动的模式密度g(((2)晶体的零点能E(3)晶格的热容量C 15. 在高温下（kBT ( (m），试用Debye模型求三维简单晶格频率从0到(m中总的平均声子数 (已知晶体体积为V，格波的传播速度为c )。 16. 在高温下（T ( (D），根据Debye理论证明由N个原子组成的d维晶体的晶格热容为 (1)一维: CV = NkB ; (2)二维: CV = 2NkB ; (3)三维: CV = 3NkB 。 17. Grüneisen常数 (1)证明频率为(i的声子模式的自由能为 ； (2)以(表示体积相对改变，那么单位体积晶体的自由能可以表为 其中B为体积弹性模量。假设(i(q)与体积的依赖关系为((/( = ( ((，其中(为Grüneisen常数。如果将(看作与模式无关