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第五节二次函数与幂函数1.五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0)减,(0,+∞)增增增(-∞,0)和(0,+∞)减公共点(1,1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(2)二次函数的图象与性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域单调性在上单调递增; 在上单调递减 在上单调递增; 在上单调递减 奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x=-成轴对称图形1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=2x是幂函数.( )(2)当n0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.( )(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( )(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.( )(5)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( )答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )解析:选C 令f(x)=xα,则4α=2,∴α=,∴f(x)=x,则f(x)的图象如选项C中所示.3.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )A.-1B.2 C.3 D.-1或2解析:选B ∵f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.4.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是( )A. B. C.D.解析:选C 由题意知即解得a.5.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为________.解析:由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.答案:(-∞,-6]∪[4,+∞)6.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则y=f(x)的值域为________.解析:因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,所以其定义域[a-1,2a]关于原点对称,所以a-1=-2a,所以a=,因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,即f(-x)=f(x),所以b=0,所以f(x)=x2+1,x∈,其值域为.答案: [考什么·怎么考]高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难度不大,一般以选择题、填空题的形式呈现,其中幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围,结合指数、对数比较大小等问题较常见.1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)=( )A.3 B.1-C.-1 D.1解析:选C 设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即α=,所以f(x)=x=,所以f(2)-f(1)=-1,故选C.2.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为( )A.-2 B.1C.1或-2 D.m≠解析:选B 因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以解得m=1.3.已知a=3,b=4,c=12,则a,b,c的大小关系为( )A.bacB.abcC.cbaD.cab解析:选C 因为a=81,b=16,c=12,由幂函数y=x在(0,+∞)上为增函数,知abc,故选C.4.若(a+1)(3-2a),则实数a的取值范围是________.解析:易知函数y=x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以解得-1≤a.答案:[怎样快解·准解]1.幂函数的图象与性质幂函数y=xα的图象和性质因α的取值不同而不同,一般可从三方面考察:(1)α的正负:α0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象限的部分“上升”;α0时图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,在第一象限的部分“下降”;(2)曲线在第一象限的凹凸性:α1时曲线下凹,0α1时曲线上凸,α0时曲线下凹;(3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函数
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