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投影原理在立几证明中妙用 　　在解答立体几何题的时候，有时需要添作必要的辅助线.例如，在“线线平行”?“线面平行”时，首先要在平面内得到一条直线与平面外的已知直线平行，这里的关键就是如何添作平面内的这条辅助线.笔者发现，很多学生碰到这类问题会茫然无措，无奈之下只能乱画乱连，解题纯粹靠运气. 　　根据教材（苏教版《数学》必修2第11页至第12页），投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投射面）投射，并在该面上得到图形的方法.按照投射线的不同，投影可以分为两类： 　　第一类：投射线互相平行的投影称为平行投影（图1）； 　　第二类：投射线交于一点的投影称为中心投影（图2）. 　　图1 图2 　　根据平行投影和中心投影的定义，我们可以得出两条投影原理： 　　投影原理1 （如图1）如果投射线AA′ 　　??? BB′，那么AB∥A′B′； 　　投影原理2 （如图2）如果投射线满足SASA′=SBSB′，那么AB∥A′B′. 　　上面两个原理利用平行四边形和三角形相似不难证出，而这里A′B′正是证明AB和投影面平行所要添作的辅助线. 　　例1 如图3，在棱长为a的正方体ABCD?A?1B?1C?1D?1中，M，N分别为A?1B和AC上的点，且A?1M=AN=23a，求证：MN∥平面BB?1C?1C. 　　思路1（图3）：选择平行投影中的正投影（如果投影线和投影面垂直，则称该投影为正投影），M、N点在平面BB?1C?1C上的正投影分别为E、F点（E在BB?1上，且满足BEBB?1=23，F点在BC上，且CFCB=23）. 　　∵ME 　　??? 23A?1B?1，NF 　　??? 23AB，又AB 　　??? A?1B?1 　　∴ME 　　??? NF 　　故四边形为平行四边形（实际上是矩形），所以MN∥EF 　　又∵EF?平面BB?1C?1C，MN?平面BB?1C?1C 　　∴MN∥平面BB?1C?1C. 　　图3 　　图4 　　思路2（图4）：选择平行投影中的斜投影（如果投影线和投影面不垂直，则称该投影为斜投影），N点在平面BB?1C?1C上的斜投影为C点，接着考虑M点在平面BB?1C?1C的斜投影E点如何确定.注意到要使得ME 　　??? NC，只要有ME 　　??? 23AC，又AC 　　??? A?1C?1，故只要使得ME 　　??? 23A?1C?1.为此，只需连接BC?1，在BC?1上取点E，使得BEBC?1=23，这样就有BEBC?1=BMBA?1=23，从而有ME 　　??? NC.则M点在平面BB?1C?1C上的斜投影???E点，MN在平面BB?1C?1C上的斜投影为EC，以下证明同思路1. 　　思路3（图5）：考虑中心投影.选择A点为投影中心，N点在平面BB?1C?1C上的投影点为C，接着考虑M点在平面BB?1C?1C上的投影G点如何确定.注意到要使得AMAG=ANAC=13.为此，连接AM，并延长交BB?1（平面AA?1B?1B与平面BB?1C?1C的交线）于点G，这样就有AMMG=A?1MMB=12，从而有AMAG=A?1MA?1B=ANAC=13，故而MN在平面BB?1C?1C上的投影为GC，以下证明略. 　　图5 　　图6 　　思路4（图6）：因为平面BB?1C?1C∥平面AA?1D?1D，所以要证MN∥平面BB?1C?1C就只要证MN∥平面AA?1D?1D.选择B点为投影中心，将MN向平面AA?1D?1D投影.M点在平面AA?1D?1D上的投影为A?1点，再考虑N点在平面AA?1D?1D上的投影H点如何确定.注意到要使.注意到要使BNBH=BMBA?1=23为此，延长BN与AD交于H点，则N点在平面AA?1D?1D上的投影为H点，MN在平面AA?1D?1D的投影为A?1H，以下证明略. 　　在运用投影原理添作辅助线时，还有一种“截景”（可以设想在人眼和景物之间插入一张玻璃平板，当一只眼睛向景物发出投射线时，由投射线和玻璃平板的交点所形成的点集叫做“截景”）的情况（苏教版《数学》必修2第17页阅读材料有相关介绍），有些问题的辅助线就可以用“截景”来获得. 　　 　　例2 如图7，在三棱柱ABC?A?1B?1C?1中，点D是AB中点.求证：BC?1∥平面A?1DC. 　　图7 　　分析：猜想在平面A?1DC中能得到一条直线与BC?1平行.选择A点为投影中心，AB、AC?1为投射线.AB与平面A?1DC相交于D点，AC?1与A?1C相交于E点，A?1C?平面A?1DC，故DE就是BC?1在平面A?1DC上的“截景”，也就是要添作的辅助线. 　　 　　除了证明“线面平行”外，投影原理在证明“线面垂直”或“面面垂直”问题添作辅助线时也