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带有免赔额调整车险奖惩系统及其最优自留额 　　 摘 要 考虑了带有免赔额调整的车险奖惩系统.利用无差别原理,将奖惩系统惩罚等级中增收保费的部分或全部用添加免赔额的方式替代,给出了替代后奖惩系统最优自留额的递推计算公式.最后,给出一个例子并分析了免赔额与平均最优自留额的关系. 　　关键词 奖惩系统; 无差别原理; 免赔额; 最优自留额 　　中图分类号 F840.65 文献标识码 A 　　The Bonus?Malus System with Per Claim Deductibles and Its Optimal Retention 　　 　　 SUN Jing?yun?1,HUANG Yan?yan?2,LI Bi?qi?1,LIU Yu?sheng?1 　　(1. School of Mathematics, Lanzhou City University, Gansu, Lanzhou 730070,China; 　　2. School of Statistics, Lanzhou University of Finance and Economics, Gansu, Lanzhou 730020,China) 　　 Abstract A bonus?malus system with per claim deductibles was studied. By using an indifference principle,part or all premium surcharge was replaced with deductible,and the interative formula of optimal retention was given. Lastly, an example was given and the relation between deductibles and optimal retention was analyzed. 　　Keywords bonus?malus system; indifference principle;per claim deductible;optimal retention 　　 　　1 引 言 　　在汽车保险中,利用奖惩系统(Bonus?malus System，简记为BMS)可根据被保险人的历史索赔记录对其每年续保的保费不断进行调整.在该系统中，若被保险人在上一保单年度没有发生索赔,则对其续保时的保费给予优惠，而若被保险人在上一保单年度发生了一次或多次索赔，则其续保时要根据已索赔次数增收保费.在奖惩系统中通常会出现追奖现象，即当投保人面对小额损失时，为了避免未来保费的增加或为了追求保费折扣，会自付损失而不向保险公司报告.因追奖而产生的自付损失可看成是“自愿”的免赔额，而当损失达到什么程度时投保人才会向保险公司报告的问题被称为最优自留额问题.自留额的高低反映了奖惩系统的严厉程度，平均最优自留额是评价奖惩系统严厉程度的重要标志之一.关于经典奖惩系统下最优自留额问题的研究，可参见文献［1-3］. 　　由于奖惩系统中惩罚等级的存在,会导致某些被保险人上一年发生索赔后为避免更高的续保保费而离开原保险公司转向其他保险公司，这样，其他保险公司就可能??低估某些新投保人的风险.为了避免这种情况，Pitrebois［4］等建议在不同的惩罚区域用添加免赔额的方式来代替保费惩罚，这样做的另一个好处是可以减少小额索赔的理赔成本和管理费用等，且投保人自己承担了部分费用，避免了道德风险.国内关于添加免赔额的奖惩系统的研究可参见文献［5，6］. 　　本文主要考虑将惩罚区域增收的保费用添加免赔额的方式替代的奖惩系统, 研究该系统中投保人的最优自留额的确定问题，并分析了系统平均最优自留额与免赔额之间的关系. 　　2 相关变量及假设 　　设一个奖惩系统有?s个等级，等级i的奖惩系数为C?i,i=1,2,3,…,s，本文采用?Lemaire关于BMS?平均最优自留额分析的基本假设： 　　经 济 数 学第 29卷第1期孙景云等：带有免赔额调整的车险奖惩系统及其最优自留额 　　1)设每个投保人的事故发生次数服从参数为λ的?Poisson?过程，设每次的损失金额为随机变量X，其分布函数为F(x)，密度函数为f(x)，且事故发生次数与损失额相互独立； 　　2)保单组合中不含有新增保单，也不会有退保保单； 　　3)自留额的计算是建立在无限时域假设之下，即保单持有人将永远开车并投保； 　　4)使用年中折现因子β，认为所有赔款都发生在每个保险年度的中点； 　　5)P是基础保费，即奖惩系数等于1时的毛保费，其中包含了安全附加，管理费用等； 　　6)1－t为到