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中国科学 ：数学 2014年 第 44卷 第 6期 ：633 656 《中国科学》杂志社 SCIENCECHINA PRESS 两类对称函数的 Schur凸性 孙 明保 湖南理工学院数学学院，岳阳414006 E—mail：sun—mingbao@163．com 收稿 曰期：2013—10-09；接受 日期：2014—01—15 国家自然科学基金 (批准号、湖南省自然科学基金 (批准号：12JJ3002)、湖南省教育厅资助科研 f批准号 11A043)和湖南省重点学科建设 (批准号：201176)资助项 目 摘要 本文用一种新方法研究两类对称函数的 Schur凸性．首先，对 = x，．…z)∈(一。。，1)n _l u(1，+∞)和r∈{1，2… ．，n)，讨论 Guan(2007)定义的对称函数 F扎(x，r)： (Xl，2，．． ∑ ∑ 的 Schur凸性，其中 il，i2… ．，i 为正整数；推广褚玉明等人 (2009)的主要结果，因而用新方法推 Ⅱ 广并解决 Guan(2007)提出的一个公开Iq题．然后，对 =Ⅱ(1…．， )∈(一∞，1)nu(1，+∞)n和 r∈{1，2… ．，佗)，研究本文定义的对称函数 G (X，r)=G (Xl，X2，．． 的Schur凸性、Schur乘性凸性和 Schur调和凸性，其 中il，i2… ．，i为正整数．作为应用，用 Schur凸 函数 自变量的双射变换得到其他几类对称函数的Schur凸性，用控制理论建立一些不等式，特别地，由 此给出Sharpiro不等式和 KyFan不等式一个共 同的推广，导出Safta猜想在高维空间的推广． 关键词 对称函数 Schur凸 Schur乘性凸 Schur调和凸 控制理论 MSC (2010)主题分类 05E05，26B25，52A40 1 引言 本文记 为 n维 Euclid空间， = = (一。。，+o。)， = { = x1，2… ．， )∈ n：i 0，i=1，2，…，礼)， ={=(Xl，X2，．．．，X)∈ ：Xi0，i=1，2，．．．，礼}，N={1，2，．．．，n，．．．)．对 x=(Xl，x2，．．．，Xn)，Y=(Yl，Y2，．．．，Y)∈Ⅱ“并口 ∈ ，记 x+Y=(Xl+Yl，x2+Y2，．．．，Xn+Yn) xy=(XlYl，x2Y2…．，Xnyn)， = ( 1， 2，… ， 礼)， 荚文弓I用格式≤s1m≤M#B．ThelscI ”蛹 G 酏se)．1ci8iIlM 20l4，44； 。0■ 薯 |暑蠢鼍 秣虢酶镟嚣 t § 孙明保：两类对称函数的 Schur凸性 OL+ =(+Xl，+2g2，… ，OL+ _，^) (Xl1…，1) 此外，对 X (1，X2，．．．， )∈Ⅱ ，记 logz=(1ogz1，logX2，… ，l0gn)，X =( ， ，．．．，z) 最近，一些对称函数的 Schur凸性、Schur乘性凸性和 Schur调和凸性及其应用被许多作者所研 究，例如，见参考文献 [1-5] 对 = (1，．．．， )∈0[，1)={z (1，X2，．．．，z竹)∈Ⅱn：0≤Xi1，i 1，2… ．，n}，r∈N且 r≤n，Guan6【】定义了如下对称函数