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构造函数证题的妙想与思维方法的探讨 1　引言 构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们起着桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用．因此想通过本论文给大家介绍一些构造函数法的基本思路．首先给出构造函数法及构造法的定义，然后重点从实例出发，研究构造函数及其思维方法在具体问题中的应用，最后简单介绍构造思维方法解题的过程和解题策略． 所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤，达到能够定义辅助函数和实现命题论证的方法．而构造函数，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念，通过已知的数学概念和方法，在题设的约束条件下，去达到证明或者说明某结论或概念的正确性的目的． 相信本论文对初学者能起到一定的帮助作用，一方面帮助大家抓住构造函数及其思维方法的关键所在，另一方面又配有相应的典型例题解说，使大家少走弯路提高学习效率，同时开阔学术视野． 2 　数学中常见的构造函数法及其思维方法的应用 2.1　构造函数法在解、证等式、不等式中的应用 有关解、证等式、不等式的问题，一般运用比较法、分析法、综合法等．然而对有些问题运算比较麻烦，且不易得到结果．这时，如针对所解决的问题构造一个辅助函数，则原来问题的求解或证明，就转化为对这一函数性质的研究.可以运用函数的图像、单调性、奇偶性、最值、连续和微积分等性质来帮助解决，运算过程就会变的比较容易了． 2.1.1　构造函数在证明等式中的应用 例1 已知 ，求证：． 分析 由，可联想到三角函数中的关系式，若令，则 ，此时用、表示、，再计算的值是否为就行． 证明 设，则 , 由上面的两式分别得 ， , 故． 2.1.2　构造函数在证明一般不等式中的应用 例2 设、、是的三条边，证明． 分析 根据不等式的结构特征，经过等价变形，从一个含多元的数学问题里，选定合适的主要变元，从而把问题转化为研究函数的性质． 证明 由题意不妨设 ，令 ， 原不等式等价于，由函数的图像是一条开口向上的抛物线，知函数在上单调递减．又，要证明，只须证明即可，而 ， 又，则，即，故命题得证． 例3 求证： ． 分析 此题有多种证法，这里介绍一种颇具新意的、用构造函数求导数的证题思路．导数的一个重要应用是能快速的判断函数的增减性． 证明 先构造函数 ，再求出其导数 ， 因，则当时，为增函数， 又因, 所以有即 ． 2.1.3　构造函数证数列不等式 例4 求证 ． 分析 可以尝试用数学归纳法证明，但较繁琐，注意到原数列不等式等价于 ， 启发我们构造数列，利用数列的单调性去探寻． 证明 设 , 由 ，知是递增的 , 又，故有，从而命题得证． 2.2　构造函数法在求极限和求解方程方面的应用 构造函数法是数学解题中最富有活力的数学转换方法．如能恰当的运用，不仅能把问题变繁为易、变抽象为具体，达到难题巧解的目的，而且能大大丰富学生的想象能力，培养学生解题的整体意识和创造性思维能力． 2.2.1　构造函数在求极限中的应用 例5 求 ． 解 构造辅助函数 ， 而，则当时，是型的不定式．由罗必达法则，有 , 又由是关于的连续函数，得 ，由此． 思路总结 构造恰当的辅助函数；化离散变量为连续变量，而且还必须考虑连续变量相应的极限过程，如本例中用到罗必达法则的过程；求解的关键在于考虑辅助函数极限的求得． 2.2.2　构造函数在讨论方程根中的应用 论证方程根的题目，主要有两类，一类是结合闭区间上连续函数的零点定理去思考；另一类是在已知函数的基础上论证导函数方程根的情况，此时就要考虑罗尔定理了． 例6 设、、 为满足 的实数．证明：方程在内至少有一根 ． 分析 函数虽然在上连续，但却难以验证在上的某个子区间的端点处的函数值是否异号．但是经分析的原函数 ， 在处的函数值恰好是式子的左边，因此该命题可利用罗尔定理来证． 证明 构造函数，显然函数在上连续，在内可导，又因为，，由罗尔定理，存在一个，使得,即，命题得证． 2.3　微分中值定理证明中辅助函数的构造及其应用 “构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法．许多文献中， 中值定理、罗尔定理和中值定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了．具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足引理的辅助函数，进而推导出了结果；而 中值定理和中值定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果． 微分中值定理的证明实现了函数与其导数之间的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质．处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔定理，中值定理和中值定理条件的辅助函数．下面以举例的形式介绍几种常用的辅助