初等积分法基本定理线性微分方程组线性.PDF

第一章 初等积分法 第1讲 微分方程与解 第2 讲 变量可分离方程 第3 讲 齐次微分方程 第4 讲 一阶线性微分方程 第5 讲 全微分方程与积分因子 第6 讲 一阶隐式微分方程 第7 讲 几种可降阶的高阶方程 第8 讲 应用举例 第二章 基本定理 第09 讲 解的存在性与唯一性定理 第10 讲 解的延展 第11 讲 奇解与包络 第12 讲 解对初值的连续依赖性 第三章 线性微分方程组 第13 讲 一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念 第14 讲 线性齐次微分方程组的一般理论 第15 讲 线性非齐次微分方程组的一般理论 常系数线性微分方程组的解法(单实根） 第16 讲 常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 第四章 线性微分方程 第17 讲 n 阶线性微分方程的一般理论 第18 讲 n 阶常系数线性齐次方程的解法 第19 讲 n 阶常系数线性非齐次方程的解法 第20 讲 二阶常系数线性方程与振动现象 第五章 定性和稳定性理论简介 第21 讲 稳定性概念及李雅普诺夫第二方法 第22 讲 平面自治系统的基本概念 平面定性理论简介(1) 第23 讲 平面定性理论简介(2) 第1 讲 微分方程与解 微分方程 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 300 多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微 积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方 程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规 律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动 的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照 某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出 来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下 面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. 例1 物体下落问题 设质量为m 的物体，在时间t=0 时，在距地面高度为H 处以初始速度v(0) = v0 垂直 地面下落，求ss 此物体下落时距离与时间的关系. 解 如图1-1 建立坐标系，设为t 时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为 ds v dt 加速度为 质量为m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg 和空气阻力，当速度不太 大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律 F = ma (力=质量×加速度) 可以列出方程 (·= ） (1.1) 其中k ＞ 0 为阻尼系数，g 是重力加速度. (1.1)式就是一个微分方程，这里t 是自变量，x 是未知函数， 是未知函数对t 导 数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0 的情形，即自由落体运动，此 时方程(1.1)可化为 (1.2) 将上式对t 积分两次得 (1.3) 其中 和 是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解. 一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是 两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所 介绍的都是常微分方程，有时