辗转相除法与更相减损法讲义.pptVIP

辗转相除除法的程序框图与程序 第一步,给定两个正整数,不妨设mn, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他们不同时是偶数,约简后的两个数仍记为m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d0”是否成立,若是,则将n,d 中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步;否则,2^k *d(k是约简整数的2的个数)为所求的最大公约数. * * * * 1、求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 2、求8251和6105的最大公约数 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5 所以，49和63的最大公约数为7 辗转相除法与 更相减损术讲义 辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 否 是 《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。 (12) 更相减损术算法 开始 输m,n(mn) K=0 m,n为偶数? K=k+1 m=m/2 n=n/2 d=m-n dn? dn? 是 否 m=n n=d d=m-n m=d 是 输出2^k d 结束 是 否 否 INPUT “m,n=“;m,n IF mn THEN a=m m=n n=a END IF K=0 WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1 WEND d=m- n While dn IF dn then m=d ELSE m=n n=d End if d=m-n Wend d=2^k＊d PRINT d E