第四节 微分和 与不定积分 实变函数课件.pptVIP

目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。 重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。;第四节 有界变差函数;第四节 有界变差函数;证明：不妨设 ，否则可令 ，对 讨论就行了。记 ， 则 都是单调增加函数，故去掉一个零测集 E 后， 都存在。 ;因 及 单调增加，故其导数均非负，从而当 时， 。 由此得，级数 几乎处处收敛。往证 。 ;进而，级数的通项趋于0，即 ， 也即 。 证毕。 ;证明：设 是 上的单调增加函数，注意对任意 ， ， 由推论1立得证明。 ;第四节 有界变差函数;定理5 设 f 是 上的单调增加有限函数，那么 是 上的Lebesgue可积函数，且 。 ;证明：将 f 扩充到 上，对任意 ，令 ，并令 ， 它是Riemann可积函数，而且 。 ;注意到 ;由Fatou引理得;应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差别，此处严格不等式样可能成立的，例如，若 ，则 。于是 ，但 ， ，故 ，所以 。 ;另外，还应注意到，由定理4， 上的单调函数 f 几乎处处有有限导数，因此定理5中导数 不存在的点 x 处可规定 为任意值。这就是说，在一个零测集上可以任意改变函数值不会对 的积分产生影响。 ;从 我们还看到另一个事实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇异函数，即下面的 定义6 设 f 是 上的有限函数，若在 上 ，且 f 不恒为常数，则称 f 为 上的奇异函数。 ;三．???界变差函数的定义 问题4：[a,b]上单调函数除了跳跃度总和不超过 ，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？;第四节 有界变差函数;定义7 设 是 上的有限函数，对 的任一分划 ， 记 称 为 f 关于分划 的变差。 ;第四节 有界变差函数;由定义7不难看出， 上有限单调函 数 f 都是有界变差函数，且 。;四. 有界变差函数的性质 性质1 若 f 是 上的有界变差函数，则 f 必为有界函数。 ;证明：若不然，则存在 。使 ，由 f 是有界变差函数知 。对任意 n，作 的分划 ，则;由 ，得