第四章第四节 大数定律和 与中心极限定理 概率论课件.pptVIP

概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理. 我们只讨论中心极限定理的几种简单情形. 下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（列维一林德伯格定理） 设X1, X2, … 是独立同分布的随机 变量序列, 且 E(X1) = , Var(X1)= ， i=1,2,…，则任给 x∈(-∞, ∞), 均有 上式还有另一记法: 记 有 虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ …+Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 第二章中介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理 （二项分布的正态近似）是上述定理的特殊 情况. 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 定理2 (棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明: 当n很大，0p1是一个定值时(或者说，np(1-p)也不太小时)，二项随机变量 Yn标准化后的分布近似正态分布 N[ np, np(1-p)] . 下面我们举例说明中心极限定理的应用 中心极限定理的客观背景 例:20个0-1分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x) 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 第四章第四节 大数定律与中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来. 所以，要从随机现象中去寻求这种规律，就应该对随机现象进行大量的观测. 研究随机现象的大量观测, 常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究. 极限定理的内容很广泛, 其中最重要的有两种: “大数定律”与“中心极限定理” 在介绍“大数定律”与“中心极限定理”之前，我们先介绍一个重要的不等式。 一、切比雪夫不等式 设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0, 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 由此可体会方差的概率意义： 它刻划了随机变量取值的离散程度. 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 . 例2 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90? 解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， E(X)=0.75n, 的最小的n . 则 X~B(n, 0.75) 所求为满足 D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) = P{ |X-E(X)| 0.01n} P(0.74n X0.76n ) 可改写为 在切比雪夫不等式中取 n，则 = P{ |X-E(X)| 0.01n} 解得 依题意，取 即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 . 大量的随机现象中平均结果的稳定性 二、大数定律 大量地掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程 中废品率 …… 几个常见的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1, X2, …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限方差，且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1, 2, … . 切比雪夫 则对任意的ε0，有 该大数定律表明：对独立随机变量序列{Xn}，若其方差有共同上界，则 与其数学期望 偏差很小的 概率接近于1. 随机变量，其取值接近于其数学期望的概率接近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的概率描述. 证明切比雪夫大数定律的数学工具是切比雪夫不等式. 设随机变量X有期望E(X)和方差 ， 则对于任给 0, 等价形式为 作为切比雪夫大数