第十六讲 图形平移和旋转讲义.doc

第十六讲 图形的平移和旋转 一、课标下复习指南 (一)平移变换 1．平移的概念 平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移． 注：平移变换的两个要素：移动的方向和距离． 2．平移的性质 (1)平移前后的图形全等； (2)对应线段平行(或共线)且相等； (3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等． 3．平移变换的作图 如图16－1所示，将△ABC平移至△A′B′C′，则有AA′∥BB′，且AA′＝BB′；BB′与CC′共线，且BB′＝CC′． 图16－1 说明 我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后的图形，得知平移的方向和距离． 4．用坐标表示平移 (1)点(x，y) 点(x＋a，y)或(x－a，y)； (2)点(x，y)(x，y＋b)或(x，y－b)． (二)轴对称变换 1．轴对称的概念 把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称．这条直线就是对称轴．两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点． 2．轴对称的性质 (1)关于某条直线对称的两个图形全等； (2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分； (3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上． 3．轴对称变换的作图 如图16－2，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则有△ABC≌△A′B′C′；AA′，BB′，CC′都被直线l垂直平分． 图16－2 说明 我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形；反之，可以根据两个成轴对称关系的图形，得出对称轴． 4．轴对称图形 如果把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴． 注：一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条． 5．轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别 联系 轴对称 轴对称是指两个图形的对称关系 若把轴对称的两个图形看成一个(整体)图形，则成为轴对称图形；若把轴对称图形的互相对称的两个部分看成两个图形，则它们成轴对称 轴对称图形 轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形 区别 联系 中心对称 中心对称是指两个图形的对称关系 把中心对称的两个图形看成一个(整体)图形，则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称 中心对称图形 中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形 (3)点A到点C所经过的路线的长度是 说明 (1)正确画出图形经过几何变换后所得到的图形，是考查我们对概念的理解和空间想象力的具体体现．想一想，△AOB能否先进行平移、再经过旋转，得到△CDO?如果可以，请用准确的术语写出这个变换的过程______． (2)请注意第(2)、(3)小题的区别． 例2 如图16－5，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处，折痕分别交AD，BC于E，F． 图16－5 (1)求证：B′E＝BF； (2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想以a，b，c为边的三角形的形状，并给予证明． 分析 折叠过程体现了轴对称，由轴对称性质可知，B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE，而∠BFE＝∠B′EF，故有B′E＝B′F＝BF． 解 (1)证明：由题意，可得B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE． 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠B′EF＝∠BFE＝∠B′FE． ∴B′E＝B′F＝BF (2)解：以a，b，c为边可以构成直角三角形． 证明：如图16－6，连接BE，则BE＝B′E． 图16－6 由(1)知，B′E＝BF＝c， ∴a2＋b2＝AE2＋AB2＝BE2＝c2． ∴以a，b，c为边构成的三角形是直角三角形． 例3 如图16－7，某人有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，此人立下遗嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间的池塘也要同时平分，但不知如何去做．你能想个办法吗? 图16－7 分析 这个图形实际上是由两个中心对称图形组合而成，要想将其面积平分，只要找一条直线，使其既能平分平行四边形的面积，又能平分圆的面积即可． 解 连接平行四边形的两条对角线，其交点A就是平行四边形的中心，而圆的圆心B就是圆的中心，因此直线AB就能将土地与池塘的面积同时平分了． 说明 此题可以推广． (1)由于经过中心对称图形的对称中心的直线都可以平分该图形的面积，所以只要地和池塘都是中心对称图形，过两个对称中心的直线即可同时平分它们的面积． (2)一些非中心对称的图形内部也存在这样的点，使得过该点有无数条直线平分该图形的面积．比如梯形，过梯形中位线的中点，且与梯形上、下两底均相交的直线均平分该梯形的面积．请思考：如图16－8，五边形ABCDE中，AB∥C