第一章 线性空间和 与线性变换 矩阵理论课件.ppt

第一章 线性空间与线性变换;本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。;§1、线性空间;线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间。尤其是坐标，能够将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。;一、从向量谈起;二、线性空间(Linear Space)的概念 ;具有加法单位元（零向量） ，使得;注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。 ;例4 次数小于 的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 ;例6 齐次线性方程组 的所有解的集合构成数域 上的线性空间 ，称为 的解空间，或矩阵 的核空间或零空间，即;例7 所有矩阵向量积 的集合构成数域 上的线性空间 ， 称为矩阵 的列空间或值域，也称为矩阵 的像 ， 即;例8 阶常系数线性微分方程;例9 集合 不是 一个线性空间。因为加法不封闭。;对于 及 ，定义;三、线性空间的几个基本性质;四、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)和维数(dimension);几点说明; （5） 的 0 维子空间是 ，1 维子空间是经过原点的任意直线，2 维子空间是经过原点的任意平面，3 维子空间是它自身。;例14 向量空间 是实数域 上的二维空间，其基可取为 ，即;定理15 数域 上的线性空间 中的任意向量在给定基下的坐标是唯一的。; 或者对任意 ，都有 线性相关。这样 可由 线性表示，即 。与 的取法矛盾。;例17 在线性空间 中，显然 是 的一组基，此时多项式 在这组基下的坐标就是;分析：;五、基变换(change of basis)和坐标变换;过渡矩阵是以新基的各向量在旧基下的坐标为列向量构成的矩阵。它一定是可逆的！！;那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？;定理19 设 维向量空间 中元素 在基 与基 下的坐标分别为 ， 。 为基 到基 的过渡矩阵，则成立坐标变换公式：;证明：;例 17（续）;例18 已知矩阵空间 的两组基：;解：;类似地，; 则基 ( III ) 到基 ( I ) 的过渡矩阵为;类似地，可得基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为;从而;§2、子空间的交与和;定义1 设 是线性空间 的非空子集。如果 在 中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称 是 的（线性）子空间。;(i) 对任意的 ，有 (ii) 对任意的 ，有;例5 已知 是数域 上的线性空间， ，则集合;例6 是 的子空间； 是 的子空间, ‥‥‥,一般地，;例7 对任意 ， 是 的子空间； 是 的子空间。;二、子空间的交(intersection)与和(sum);（i) 交换律 ;例 10 设