常微分方程_高教出版社_第三版.doc

绪论 微分方程: 联系自变量、未知函数以及它的导数间的关系式。自变量只有一个的称为常微分方程. 常微分方程模型 例1 RLC电路 包括电感L, 电阻R和电容C及电源的电路称为RLC电路. 电流I流经R,L,C的电压降分别是RI, , ,其中为电量, 它与电流的关系为. 基尔霍夫第二定律: 闭合回路中, 所有支路上的电压的代数和为零. 如图所示的 RL电路, 电感L, 电阻R和电源电压E为常数. 设时, 电路中没有电流. 开关S合上后电流应满足的微分方程 ,即 ,求出的应满足: 时, . 如果在时, , 电源E突然短路, 则E变为0并且此后一直保持为0, 则电流I满足方程 ,及条件时, . 再看如图所示的RLC电路, 电阻R, 电感L和电容C都是常数. 电源是时间t的已知函数. 开关S合上后, 电流I应满足的微分方程 ,微分上式可得 ,如果=常数, 则有 .如果电阻R=0, 则有 例2 数学摆 解 设摆在铅垂线右边时所成夹角为正. 质点M沿圆周切向速度v可表示为. 重力mg沿圆周切向的分力为, 数值为, 于是摆的运动方程为 ,即 . 如果是微小振动, 即比较小时, 可取, 于是微小振动方程为 . 如果摆在一个粘性介质中运动, 设阻力系数为, 则摆的运动方程为 . 如果沿摆的运动方向恒有一个外力作用于它, 则称受迫微小振动, 方程为 . 摆的初始条件为 时, , . 例3 人口模型 Malthus假定: 人口出生率是常数r, 则从到这段时间人口数量的增长量为 于是人口数量满足 改写为 两边积分可得 这里为任意常数, 上式又可变形为 这里, 注意也是解, 所以c可以是任意常数. 如果设初值条件为 时, 代入上式可得, 即方程满足此初始条件的解为 . Logistic模型: 引入环境最大容纳量, 假定净相对增长率为, 则人口模型变为 . 例4 传染病模型 设某地区在某种传染病传播期间总人数保持不变, 为常数n. 开始感染人数为, 在t时刻的健康人数为, 染病人数为, 则有  设单位时间内一个病人能传染的人数和当时健康人数成正比, 比例常数为k, 称之为传染系数, 于是 注意到总人数不变, 可得 此模型称为SI模型, 即Susceptible, Infective. 对无免疫性的疾病, 病人治愈后会再次感染. 设单位时间治愈率为, 则SI模型应修正为 ,即 这个称为SIS模型. 其中是这个传染病的平均传染期, 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数(接触数). 对于免疫性很强的疾病, 病人治愈后不会再被感染, 即在t时刻的治愈后免疫人数为, 称为移除者(Removed), 设治愈率l为常数, 即 注意到总人口不变, , 我们得到 这个模型称为SIR模型. 例5 两生物种群生态模型 某环境中有两种鱼: 被食鱼与捕食鱼. 设t时刻被食鱼的总数为, 捕食鱼的总数为, 如果没用捕食鱼, 则被食鱼的增长规律为, 设捕食率为b, 则有 而捕食鱼有一个自然减少率c, 被食鱼供养捕食鱼的能力为d, 则有 这个称之为Volterra捕食-被捕食模型. 其更一般的模型为 从数学的角度归类: , 可以写为 . 而 和 可以写为 . 基本概念和常微分方程的发展历史 常微分方程的基本概念 (1) 常微分方程和偏微分方程 如果在微分方程中自变量的个数只有一个, 则称为常微分方程; 自变量的个数多于一个的微分方程则称为偏微分方程. 第一节中的例子都是常微分方程. 以下是偏微分方程 , . 阶数: 微分方程中出现的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数. 一般的n阶常微分方程具有如下形式: ,这里F是的表达式, 且必含有, y是未知函数, x是自变量. 此书中常微分方程也简称为微分方程或方程. (2) 线性和非线性 如果方程左端为y及的一次有理整式, 则称方程为n阶线性微分方程. 一般n阶线性微分方程的形式为 ,这里是x的已知函数. 不是线性方程的方程统称为非线性方程. 例如 是二阶非线性方程. (3) 解和隐式解 如果函数代入方程后能使它变为恒等式, 则称为方程的解. 如果关系式决定的隐函数是方程的解, 则称为方程的隐式解. 例: 一阶微分方程 的有解和, 则关系式 就是此方程的隐式解. 解和隐式解统称为方程的解而不加以区别. (4) 通解和特解 含有n个独立的任意常数的解 称为方程的通解. 同样可定义隐式通解. 它们统称为方程的通解而不加以区分. 为了确定微分方程一个特解所需的条件称为定解条件. 常见的定解条件是初始条件, 方程的初始条件是指 当时, ,是给定的n+1个常数. 求微分方