Euler积分在定积分中的应用.pdfVIP

2O08正 青海师范大学学报(自然科学版) 2008 第 1期 JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience) No．1 欧拉积分在定积分计算中的应用 赵纬经，王贵君 (天津师范大学数学科学学院，天津 31X1387) 摘 要：本文针对某些难度较大的定积分计算问题，首先通过适当的变换将其转化为欧拉积分，再应用欧拉积分的性质，从而使定 积分计算问题巧妙地得到解决，进而为一些特殊型的定积分计算提供了一种有效方法． 关键词：欧拉积分；r函数；B函数 中图分类号：0172．2 文献标识码：A 文章编号：1001—7542(2008)O1—0O06一o4 性质2 B函数满足以F2条性质： 1 预备知识 (1)B(p，q)在定义域P0，q0内连续； 对于微积分学中定积分计算问题来说，通常的 (2)对称性：B(p，q)=B(q，P)． 做法是先求出原函数，再利用牛顿一 莱布尼茨公 性质 3 r函数与B函数的关系： 式代入上下限进行计算．但对于一些特征较为明显 B(p，g)= (po，go)． 的题 目，有时也采用变量替换，递推等技巧方法来 处理．笔者曾查阅大量 “数学分析”教材和全国部分 命题 1(余元公式) 当 s≠ 0，1，2… 时， 考研资料，发现诸多定积分计算问题蕴涵许多较强 r(s)r(1一s)=—sin~rs· 的技巧性，尤其针对一些难度较大的定积分计算问 对命题 l，若令 s= 1 ， 题，如果只局限于上述方法，通常是不易计算出结 。则 (吉。)=— = 果来的，有时若技巧使用不当，还可导致计算过程 sin亏 繁杂、事倍功半． 丌，即r( )： ．继而再由性质 1，可明显获得： 众所周知，数学分析中r函数与B函数是两个 非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了仔细 推论lr(n+1)= √； 地研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制 r(一n+吉)= ． 作了r函数和B函数表，下面来回顾一下： 定 义 I 含 参 变 量 积 分：r(s) ： 命题2[6】Isinmxcos 广+∞ rl I0 一le一ak(s o)，B(p，g)= I妒一(1— JO = 吉B( ， )，(m n-1)． x)q (p0，qO)统称为欧拉积分，前者称为 r函数，后者称为B函数． 2 定积分计算中的应用 性质 11-函数满足以下3条性质： 纵观近几年高校研究生入学考试数学分析试 (1)r(s)在定义域 s0内连续且可导； 卷，笔者发现