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2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．( ) A. B. C. D. 2.设集合，.若,则( ) A. B. C. D. 3.我国古代数学著名《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( ) A． B． ? C．? D．? 5.设满足约束条件，则的最小值是( ) A. B. C. D. 6. 安排名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ） A． B． C． D. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） B. C. D. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ） B. C. D. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） B. C. D. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地抽取100次，表示二等品件数，则 函数的最大值是. 等差数列的前项和为，，，则 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为中点，则 三、解答题： 17.（12分） 的内角的对边分别为,已知, 求; 若的面积为,求。 18.（12分） 海水养殖场进行某水产品的新,旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:),其频率分布直方图如下: 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记表示事件“旧养殖法的箱产量低于,新养殖法的箱产量不低于”,估计的概率. 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关. 箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 . 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （12分） 如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,,是的中点. 证明:直线； 点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值. 20. （12分） 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)设点在直线上， 21. （12分） 已知函数，且, （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程； （2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值. 23. 【选修4-5：不等式选讲（10