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高考数列压轴题 　一．解答题（共50小题） 1．数列{an}满足a1=1，a2=+，…，an=++…+（n∈N*） （1）求a2，a3，a4，a5的值； （2）求an与an﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2）； （3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*） 2．已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1﹣xn≤； （Ⅲ）≤xn≤． 3．数列{an}中，a1=，an+1=（n∈N*） （Ⅰ）求证：an+1＜an； （Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1． 4．已知正项数列{an}满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1． （1）求a2的值； （2）证明：对任意实数n∈N*，an≤2an+1； （3）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意n∈N*，2﹣≤Sn＜3． 5．已知在数列{an}中，．，n∈N* （1）求证：1＜an+1＜an＜2； （2）求证：； （3）求证：n＜sn＜n+2． 6．设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N*， （I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1； （II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1； （III）当a1=时，n﹣＜Sn＜n． 7．已知数列{an}满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）． （Ⅰ）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，． 8．已知数列{an}满足a1=1，（n∈N*）， （Ⅰ） 证明：； （Ⅱ） 证明：． 9．设数列{an}的前n项的和为Sn，已知a1=，an+1=，其中n∈N*． （1）证明：an＜2； （2）证明：an＜an+1； （3）证明：2n﹣≤Sn≤2n﹣1+（）n． 10．数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+﹣1（n∈N*），{an}的前n项和是Sn． （Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值范围； （Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣（n﹣1），证明：Sn＜2n+1． 11．设an=xn，bn=（）2，Sn为数列{an?bn}的前n项和，令fn（x）=Sn﹣1，x∈R，a∈N*． （Ⅰ）若x=2，求数列{}的前n项和Tn； （Ⅱ）求证：对?n∈N*，方程fn（x）=0在xn∈[，1]上有且仅有一个根； （Ⅲ）求证：对?p∈N*，由（Ⅱ）中xn构成的数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜． 12．已知数列{an}，{bn}，a0=1，，（n=0，1，2，…），，Tn为数列{bn}的前n项和． 求证：（Ⅰ）an+1＜an； （Ⅱ）； （Ⅲ）． 13．已知数列{an}满足：a1=，an=an﹣12+an﹣1（n≥2且n∈N）． （Ⅰ）求a2，a3；并证明：2﹣≤an≤?3； （Ⅱ）设数列{an2}的前n项和为An，数列{}的前n项和为Bn，证明：=an+1． 14．已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有． （1）若a1=1，a505=2017，求a6的最大值； （2）若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证：． 15．已知数列{an}中，a1=4，an+1=，n∈N*，Sn为{an}的前n项和． （Ⅰ）求证：n∈N*时，an＞an+1； （Ⅱ）求证：n∈N*时，2≤Sn﹣2n＜． 16．已知数列{an}满足，a1=1，an=﹣． （1）求证：an≥； （2）求证：|an+1﹣an|≤； （3）求证：|a2n﹣an|≤． 17．设数列{an}满足：a1=a，an+1=（a＞0且a≠1，n∈N*）． （1）证明：当n≥2时，an＜an+1＜1； （2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥+1时，ak+1＞b． 18．设a＞3，数列{an}中，a1=a，an+1=，n∈N*． （Ⅰ）求证：an＞3，且＜1；（Ⅱ）当a≤4时，证明：an≤3+． 19．已知数列{an}满足an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）． （Ⅰ）证明：an＞1； （Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）． 20．已知数列{an}满足：． （1）求证：； （2）求证：． 21．已知数列{an}满足a1=1，且an+12+an2=2（an+1an+an+1﹣an﹣）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：++…+＜； （3）记Sn=++…+，证明：对于一切n≥2，都有Sn2＞2（++…+）． 22．已知数列{an}满足a1=1，an+1=，n∈N*． （1）求证：≤an≤1； （2）求证：|a2n﹣a