《数学物理基本方法》第1章复变函数与解析函数.ppt

* §1.2.3 复变函数的极限 1. 函数极限的定义 设w=f(z)是在z0点的无心邻域中定义的单值函数．若任给实数e 0，存在实数d ＞0，使当0＜|z- z0|＜d 时，有 |f (z)-w0|＜e (1.2.25) 则称z→z0时f(z)的极限为w0 ，记作 由定义可见，极限值w0是与z→z0的方式无关的，换句话说，当z以不同方式趋于z0，如果f(z)的取值不同，则其极限不存在。 * 由于w= f(z)=u(x,y) +iv(x,y)，因此复变函数中极限的定义可以归结为实变二元函数极限的定义，并且复变函数极限的性质就是实变函数极限性质的自然推广． * 2. 函数极限的性质 * §1.2.4 复变函数的连续 1.连续函数的定义 设w=f(z)是在z0点邻域中定义的函数．若任给实数e 0， 存在实数d ＞0，使当|z- z0|＜d 时，有 |f (z)-w0|＜e (1.2.30) 则称函数w=f(z)在z0处连续。 * §1.2.4 复变函数的连续 在极限的定义中，只要求在z0点的无心邻域 0＜|z- z0|＜d 中 |f (z)-w0|＜e ，w0 可以不等于f (z0)； 在连续的定义中要求在z0 点的邻域|f (z) -f (z0)|＜e f(z)是 x,y的函数，因而w=u+iv也是 x,y的函数，f (z)在z0 =x0+iy0连续与u(x,y)，v(x,y)必在(x0,y0)连续是等价的，f(z) =f (z0) 。 如果w=f(z)在D内每一点连续，则称函数在D内连续。 * 2.连续函数的性质 在实变函数中有关连续函数的性质，可以自然地推广到复变函数中来． 首先，如果f (z)在D上连续，则f(z)在D上一致连续．即任给实数e 0，存在实数d ＞0，使D上任何两点z 和z 满足| z - z |＜ d 时，必有 |f(z )一f (z )|＜e (1.2.31) 在连续的定义中，只要求f (z)在z0点的邻域中有定义，并且z0是定点，z为动点；在一致连续的定义中，要求f (z)闭区域D上连续，且z 和z“ 为 D上的两动点． * 2.连续函数的性质 类似地，连续函数的和、差、积、商(在分母不为零的点)仍为连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数． 以上性质的证明，可参看实变函数相应性质的证明． * 作业- §1.2 第14页 Group 1 Group 2 Group 3 1.2.1(1)、（4） 1.2.2 1.2.1(1)、（3） 1.2.2 1.2.1(1)、（2） 1.2.2 §1.3 复变函数的导数 柯西-黎曼条件 本节首先介绍复变函数导数和微分的定义，进而导出复变函数可导的充分必要条件； 定理的证明过程表明，柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件是复变函数可导的必要条件； 最后，讨论复变函数导数的几何意义． * § 1.3.1 导数与微分 1.导数的定义与导数公式 设w=f(z)是区域D中定义的单值函数，若在D内某点z，极限 存在，则称函数f(z)在z点可导，并称此极限值为f(z)在z点的导数，记作 * 讨论 第一，由极限的定义可知，无论D z以任何方式趋于零，式(1.3.1)均应趋于同一有限的极限值． 第二， f(z)在z点可导，则f(z)必在z点连续。因为，若f(z)不连续，即当D z→0 时，Dw= f (z+D z)- f (z)不趋于零，式(1.3.1)必定没有有限的极限，与f(z)在z点可导矛盾。 第三，由于复变函数导数的定义与实变函数导数的定义在形式上相同，实变函数所有导数公式都可以推广到复变函数中来． 特别是，当f1(z)和f2(z)都存在时， f1(z)和f2(z) 的和、差、积、商以及复合函数的导数公式也具有与实变函数相同的形式．例如，复合函数导数的公式为 * 2.微分的定义与微分公式 * 这样，导数也可理解为函数微分除以自变量微分之商，称为微商． 复变函数的微分公式也具有与实变函数相同的形式，此处不再赘述． 现在，我们转向研究函数w= f (z)可导的条件是什么． * §1.3.2 复变函数可导的充分必要条件 定理 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)在(x,y)点可导的充要条件是 (1) u(x,y)与v(x,y)在(x,y)点可微； (2) u(x,y)与v(x,y)在(x,y)点满足柯西一黎曼条件(简称C-R条件) 采用简写记号 C-R条件可简写为 采用简写记号 C-R条件可简写为 * 证明 (1) 充分性． 由