§2.2离散型随机变量及其分布列 《概率论和 与数理统计》课件.pptVIP

若（ )的联合分布列为 ， 事实上，因为 则 所以 同理可得， 由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布（反例在下面举）。 大家可以发现，边际分布列的求法只须在联合分布列{ }的右方加了一列，它将每一行中的 相加而得出 ，这就是 的边际分布列；相应的在{ }下面增加一行，它把每一列中的 对i相加而得到 ，恰好就是 的边际分布列，这也是年纪分布列名称的来历，即： 例2.2.12 设把三个相同的球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号中球的个数为 ， 落入第2号盒子中球的个数为 ，求（ ）的联合 分布列及 的边际分布列。 解： 的可能取值为 （首先确定（ ） 的所有可能取值（ i,j）） 然后利用第一章的知识计算概率 . 当i+j3时， = ； §2.2离散型随机变量及其分布列 一、一维离散型随机变量及分布列 二、多维离散型随机变量及其联合分布列 一、一维离散型随机变量及分布列 1．概念 定义2.2.1 定义在样本空间上，取值于实数域R， 且只取有限个或可列个值的变量称为一维（实值） 离散型随机变量，简称离散型随机变量. 讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面问题: 一是随机变量的所有可能取值；二是搞清楚随机变量取这些可能值的概率（这是最主要的）。 例2.2.1 设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任两球，则取到的黑球数为随机变量 的可能取值为0，1，2,则 习惯上，把它们写成 0 1 2 称它为随机变量的分布列(律). 2．分布列(律) 如果离散型随机变量 可能取值为 ) ( 相应的取值 的概率 为随机变量 的分布列，也称为分 布律，简称分布. 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量 的分布律： 称 或 由此可知，离散型随机变量取各种值的概率都可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，分布列全面的描述离散型随机变量。 例2.2.3 设随机变量 的分布列为 ，求 c的值。 解： 的分布列为 由分布列的性质 即C 所以 注意: 求分布列中的待定常数，往往用分布列的性质(规范性)或利用分布列自身的概率性质. 例2.2.4 一个口袋中有 只球，其中 放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为 止，设此时取出了 个白球，求 的分布列. 只白球，无 解： 的可能取值为0,1,2....,m 注意（ =i）表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球. 例2.2.5 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为 (0 1) 设 为一直掷到正、反 的分布列. 都出现时所需要 的次数，求 解： 的所有可能取值为2，3 ...,则 + , k=2，3, . 注意，求离散型随机变量的概率分布的一般步骤: （1）确定随机变量的所有可能取值； （2）确定每个可能取值的对应的概率； （3）验证 是否成立 实质上求离散型随机变量的概率分布就是转化为求随机事件的概率. 4．几种常用分布 （1）退化分布 设 的分布列为P( )=1 (a为常数)， 则称 服从退化布. （2）两点分布 设 的分布列为 1 0 p q 称 服从两点分布或0—1分布或贝努里分布. （3）二项分布 设随机变量 的分布列为 显然，（1） （2） 称随机变量 服从二项分布,记为 ～b(k；n，p). 大家可以发现二点分布是二项分布在n=1的情形. （4）几何分布 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为 p， 失败的概率为q=1-p,设试验进行到第 次才出现成功. 的分布列为 其中， 是几何级数 的一般项。 因此称它为几何分布,记为 ～g(k;p). （5）泊松（Poisson）分布 观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数等。可用相应的变量 表示，实践表明 的统计规律近似地为 其中 是个常数，易验证： （1） （2） 也就是说，若 的分布列为 称 服从参数为 的泊松（Poisson）分布，记为 ～ 在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述. 从而使得Poisson分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研