10微积分第二周2过程.docVIP

§1-3函数的连续性 教学过程： 一、组织教学（2分钟） 1、检查学生情况，调节气氛，整肃纪录，准备上课； 2、教学中注意引入趣味性，多表扬学生； 3、按时下课，填好教学日志； 二、复习引入(10分钟) 1、复习上一节的主要内容，复习无穷大、无穷小的概念，强调利用等价无穷小替换法来求极限的内容，解决作业疑难。 2、通过求极限的例子，引入函数的连续性的概念，展开新课的教学； 三、讲授新课 （一）新课讲授 (55分钟) 　　设在点的某个去心邻域内有定义，如果不是的连续点，就称 是的间断点（或不连续点），若是的间断点，那么有在点连续的定义可知，无非是以下三种情况之一： （1）在 处无定义； （2）在处有定义，但 不存在； （3）在处有定义且存在，但. 　　下面举例说明函数间断点的几种常见类型. 　　例5．函数在点处没有定义，故是的间断点.由 如果补充定义，令时，则函数在处成为连续.为此我们的可去间断点. 间断点的分类： 连续函数的和、积、及商的连续性． 　　由函数在点连续的定义及极限的四则运算法则，立即可得下列定理． 例题 　　定理１有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数． 　　证： 设 ， 在点 连续，记 ．由极限的四则运算及函数在点 连续定义，有 ． 所以 在 连续．类似可证有限个函数之和的情形． 　　仿此，读者自己即可证下面两个定理： 　　定理２　有限个在某点连续的函数之积是一个在该点连续的函数． 　　定理３　有限个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零． 定理４如果函数 在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数 也在对应区间 上单调增加（或单调减少）且连续． 一切初等函数在其定义区间内都是连续的．其中定义区间指包含在定义域内的区间． 最大值最小值定理　　　　 . 　　具体来说就是，如果 在闭区间 上连续，则至少有一点 ，使 在 上的最大值；也至少存在一点 ，使 在 上的最小值. 定理2 （有界性定理）在闭区间上的连续函数一定在该区间上有界. 　　证：设 在闭区间 上连续，由定理1， 在闭区间 上有最大值M和最小值m，使对任一 都有 ，这表明 上有上界M和下界m,所以 在 上有界. 定理3（零点定理） 　 在闭区间 上连续，且 异号,（即 ）,则在区间 间至少有一点 使 （二）练习巩固(10分钟) 课本P63-64 四、课堂小结(5分钟) 总结本课的主要内容，重申强调初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理），并会运用这些性质 1