湖北省仙桃市荣怀学校人教B版高中数学必修一教案：3.2.1《对数及其运算》.doc

《对数及其运算 学习 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念; 2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化; 3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值. 1.对数的概念 在指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有 唯一确定 的值x和它对应. 幂指数x ,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab＝N,我们把“以a为底N的对数b”记作?????logaN? ???,即b＝logaN(a0,a≠1).其中,数a叫做对数的 底数 ,N叫做 真数 ,读作“b等于以a为底N的对数”. 2.对数logaN(a0,且a≠1)的性质 (1) 0和负数 没有对数,即N0; (2)1的对数为0,即 loga1＝0 ; (3)底的对数等于1,即 logaa＝1 . 3.常用对数 以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log10N简记作 lg N . [问题情境]对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题. 探究点一对数的概念 问题1若24＝M,则M等于多少？若2－2＝N,则N等于多少？ 答：M＝16,N＝. 问题2若2x＝16,则x等于多少？若2x＝,则x等于多少？ 答：x的值分别为4,－2. 问题3满足2x＝3的x的值,我们用log23表示,即x＝log23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x＝16,2x＝,4x＝8的x的值如何表示？ 答：分别表示为log216,log2,log48. 小结：在指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R内都有唯一确定的值x和它对应.幂指数x,又叫做以a为底y的对数.一般地,对于指数式ab＝N,我们把“以a为底N的对数b”记作logaN,即b＝logaN(a0,a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”. 探究点二对数与指数的关系 问题1当a0,且a≠1时,若ax＝N,则x＝logaN,反之成立吗？为什么？ 答：反之也成立,因为对数表达式x＝logaN不过是指数式ax＝N的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式. 问题2在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中,a,x,N各自的地位有什么不同？ 答 a N x 指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝logaN 对数的底数 真数 对数 问题3若ab＝N,则b＝logaN,二者组合可得什么等式？ 答：对数恒等式:a ＝N. 问题4当a0,且a≠1时,loga(－2),loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？ 答：不存在,因为loga(－2),loga0对应的指数式分别为ax＝－2,ax＝0,x的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数. 问题5根据对数定义,loga1和logaa (a0,a≠1)的值分别是多少？ 答：loga1＝0,logaa＝1.∵对任意a0且a≠1,都有a0＝1, ∴化成对数式为loga1＝0; ∵a1＝a,∴化成对数式为logaa＝1. 小结：对数logaN (a0,且a≠1)具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即N0; (2)1的对数为0,即loga1＝0; (3)底的对数等于1,即logaa＝1. 例1求log22, log21, log216, log2. 解：因为21＝2,所以log22＝1; 因为20＝1,所以log21＝0; 因为24＝16,所以log216＝4; 因为2－1＝,所以log2＝－1. 小结：logaN＝x与ax＝N (a0,且a≠1,N0)是等价的,表示a,x,N三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a,x,N中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1将下列指数式写成对数式: (1)54＝625;(2)2－6＝;(3)3a＝27;(4)m＝5.73. 解：(1)log5625＝4; (2)log2＝－6; (3)log327＝a; (4)log5.73＝m. 例2计算:(1)log927; (2)log81; (3)log625. 解：(1)设x＝log927,则9x＝27,32x＝33,∴x＝. (2)设x＝log81,则x＝81,