函数和导数解答题排序.docx

第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）评卷人得分三、解答题（题型注释）1．函数.（1）令，求的解析式；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）；（2）实数的取值范围;（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）因为,故, ,,,由此可得,是以4为周期,重复出现,故;（2）若在上恒成立，求实数的取值范围,由得,,即在上恒成立，令,只需求出在上的最小值即可,可利用导数法来求最小值;（3）证明：,由（2）知：时，,即,这样得到，令，叠加即可证出．试题解析：(1)…周期为4，.（2）方法一：即在上恒成立，当时，；当时，，设，，设，，则时，增；减.而，所以在上存在唯一零点，设为，则,所以在处取得最大值，在处取得最小值，.综上：.方法二：设，..当时，在上恒成立，成立，故；当时，在上恒成立，得，无解.当时，则存在使得时增，时减，故，，解得，故.综上：.（3）由（2）知：时，即.当时，，，=，.考点：函数与导数,函数与不等式综合问题.2．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（3）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，函数取得极大值；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）将代入函数解析式，直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间，从而可确定函数的极值；(2)将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”，结合参数分离法进一步转化为，从中根据二次函数的图像与性质求出在上的最小值即可解决本小问；（3）因函数图像上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可，转化思想的运用.试题解析：（1）当时，由，由故当时，单调递增；当时，单调递减所以当时，函数取得极大值4分（2），∵函数在区间上单调递减∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需不大于在上的最小值即可6分而，则当时，∴，即，故实数的取值范围是． 8分（3）因图像上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立． 9分（ⅱ）当时，由，令，得或， ①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件． 11分（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．综上所述，实数的取值范围是． 12分考点：1.函数的极值与导数；2.函数的单调性与导数；3.函数的最值与导数；4.分离参数法；5.分类讨论的思想.3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2－bx(b为常数)．(1)函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与g(x)的图像相切，求实数b的值；(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；(3)若b1，对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)||g(x1)－g(x2)|成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）－1±（2）(2，＋∞)（3）【解析】解：(1)因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，因此f′(1)＝1，所以函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.由消去y，得x2－2(b＋1)x＋2＝0.所以Δ＝4(b＋1)2－8＝0，解得b＝－1±.(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x0)，所以h′(x)＝＋x－b＝.由题意知，h′(x)0在(0，＋∞)上有解．因为x0，设u(x)＝x2－bx＋1，则u(0)＝10，所以，解得b2.所以实数b的取值范围是(2，＋∞)．(3)不妨设x1x2.因为函数f(x)＝ln x在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)f(x2)，函数g(x)图像的对称轴为直线x＝b，且b1.(ⅰ)当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)||g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋x2－bx(x0)在区间[1,2]上是增函数，即等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，亦等价于b≤x＋在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2.又b≥2，所以b＝2；(ⅱ)当1b2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函