第4章简单优化问题.ppt

微积分 §4.4 单调性和凹凸性判别法 一、单调性 我们前面已经学过单调性的定义。可以看出，直接由定义 来确定函数的单调区间是很难甚至是不可能的。需要根据定义 推出可行的方法求单调区间。为此首先回忆单调性的定义。 回忆 单调性的定义： (1)f(x1)f(x2)，则称f(x)在D上单调递增； (2)f(x1)f(x2)，则称f(x)在D上单调递减； 下面开始研究函数的性质，包括单调性与极值(最值)、凹 凸性与拐点、渐近线等，主要以导数作为研究的工具。 定理 函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除 有限个点外f ′(x)0(或0)。 ③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x5/4时 y′0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x5/4时y′≤0，且 导数等于零的点只有一个，因此y在(-∞,5/4]上递减。 一般地，在求单调区间时，先找出使导数等于零的点 (称为驻点)和导数不存在的点，利用这些点将函数的定义域 分成几个区间，然后在每个区间内用导数的符号判断单调 性。一般可以列表讨论。 例 讨论函数y=ex-x-1的单调性。 解 对函数y=ex-x-1，有y′= ex-1。由y′=0得x=0，列表得 y y′ x 因此y=ex-x-1在(-∞,0)上 单调递减，在(0,+∞)上 单调递增。 例 解题过程 练习 答案 利用函数的单调性可以证明一些不等式。方法是将不等 式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，然后求导分析f(x)的 单调性。 例 证明 显然，x0时，f′ (x)0，因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。 由单调递减的定义， x0时，f(x) f(0)=0，即 练习 二、凹凸性 只有函数?(x)的单调性不能完全反映函数的性质。例如 曲线弧AB是单调递增的曲线。但从A到C的曲线是向下弯曲 (或凹)的; 从C到B的曲线是向上弯(或凸)的。在讨论实际问题 中常会用到这种曲线的弯曲性，这一节就用导数来研究。 函数的弯曲方向在数学上称为凹凸性，定义如下： 定义 f(x)在区间I上连续，若对任意x1、x2∈ I，有 则称f(x)在I上(的图形)是凹的( )或称为凹弧( )， I称为 f(x)的凹区间( )。 凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点。 凸的 凸弧 凸区间 求一个函数的凹凸性依靠定义显然是过于繁琐。由图像 上可以看出，f(x)为凹函数时切线的其斜率越来越大，f(x)为 凸函数时切线的其斜率越来越小，因此可以用二阶导数讨论 函数的凹凸性。 定理 f(x)在区间I上二阶可导，若对任意x∈I，有 则f(x)在区间I上是凹(凸)的。 显然在拐点处f′′ (x)=0。 总结 求曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤： ①确定函数的定义域； ②求出二阶导数f′′ (x)，进一步求出f′′ (x)等于零和不存在的点； ③利用这些点构成区间。在每个区间内讨论f′′ (x)的符号， 进一步确定函数的凹凸性，同时找出拐点。 例 求 练习 求y=(x+1)2(x-2)的凹凸区间和拐点。 答案 凹区间(0,+∞)，凸区间(-∞,0)，拐点(0,-2)。 注意 对拐点，注意两点：⑴拐点是平面中的点，有两个 坐标；⑵对函数，并非所有满足二阶导数等于零和不存在的点 都是拐点，还要验证左右二阶导数的符号。 解题过程 §4.5 一元函数的极值 一、极值 定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有 则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。 注 极值是局部性质，是在x0的某邻域内函数值最大(小) 值。 前面说过，最优化问题即最值问题，也就是求函数的最 大值或最小值。最值是全局性质，需要通过局部分析进行探 究，为此首先讨论“局部最值”——极值。 由图像可以看出，在极值点处或者不可导，或者导数为 零。由此得到下面的定