第十二章-有向图.docVIP

　　 教学安排的说明 章节题目：§12.1最短道路,§12.2有向道路和有向圈 学时分配：共2课时 本章教学目的与要求：会正确描述有向图的相关定义；理解有向图的重要性，掌握两种图的区别和联系． 其它：由于有向图中的基本概念与无向图中类似，因此不分章节只按先后顺序进行简单介绍。 课 堂 教 学 方 案 课程名称：§12.1有向图，§12.2有向道路和有向圈 授课时数：2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：会正确描述有向图的相关定义；理解有向图的重要性，掌握两种图的区别和联系． 教学重点、难点： 有向图的连通性，有向图的邻接矩阵 教学内容： §12.1有向图 定义1 一个有向图(digraph)定义为一个偶对，其中： 1、是个非空集合，其元素为顶点； 2、是有序积的一个子集，其元素称为弧 弧，分别为弧的起点和终点，如下图1: 图1 其余名词可类似无向图定义 下面讨论有向图的连通性。 定义2 设为一个有向图。 （1）若从到存在有向道路，则称可达； （2） 若略去中各边的方向所得无向图是连通的，则称是连通图或称是弱连通图； （3） 若中任何两个顶点至少有一个可达另一个，则称是单向连通的； （4） 若中任何两个顶点都是相互可达的，则称是强连通的。 　由定义可知是强连通的，则它一定是单向连通的；若是单向连通的，则它一定是连通的。即：强连通单侧连通弱连通. 　的连通性： （1）中存在经过每个顶点的通路，当且仅当是单向连通图； （2）中存在经过每个顶点的闭链，当且仅当是强连通图。 课堂练习 下列有向图中各图是强连通，单侧连通还是弱连通的？ 解答：强连通图为：图(1),(4),(5)； 　　　单侧连通图为：图(2),(4),(5)，或图(2)； 　　　弱连通图为：图(3),(2),(4),(5)，或图(3)．下面给出有向图的完全关联矩阵。 定义 设是一个有向图，…，}，，则矩阵称为的完全关联矩阵，其中 1 在中是的起点 = -1 在中是的终点 0 若与不关联 例 给定有向图，如图所示，写出其完全关联矩阵。 解 图 设是有向图，的完全关联矩阵有以下的性质： （1）每列有一个1和一个-1，这说明每条有向边有一个起点和一个终点。 （2）每行1的个数是对应顶点的出度，-1的个数是对应顶点的入度。 （3）所有元素之和是0，这说明所有顶点出度的和等于所有顶点入度的和。 （4）两列相同，则对应的两边是平行边。 设为一无重边的有向图。其中…，}，n(n矩阵 称为图的邻接矩阵（adjacency matrix），记为 但是有向图邻接矩阵不一定是对称的。 邻接矩阵可推广到有重边的多重图和赋权图上，只要令为到的边的重数或边上的权值W（,），而当，之间无边关联时，仍取=0。 邻接矩阵有多种用途。它除了自身反映图的一些性质，例如图各顶点是否有环（对角线元素是否为1），图的边是否成对出现（矩阵是否对称），图各顶点的出度和入度（矩阵的行和与列和）等等外，还能通过矩阵运算来探究图的更为深入的性质。 比如 (a) (b) 图3 例2 如)所示的有向图， 其邻接矩阵为图4 邻接矩阵与顶点在图中的标定次序有关。例如图)的邻接矩阵是，若将图)中的和的标定次序调换，得到图)，图)的邻接矩阵是。 虽然，对于同一个图，由于顶点的标定次序不同，而得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是等价的。今后略去顶点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表示该图。 对有向图来说，邻接矩阵的第行1的个数是顶点的出度， 第列1的个数是顶点的入度。例3 如图所示，为简单有向图，写出邻接矩阵，算出，，且确定到有多少条长度为3的途径? 到有多少条长度为2的途径? 到自身长度为3和长度为4的回途径各多少条? 解 邻接矩阵及，，如下： 图 =2，所以到长度为3的途径有2条，它们分别是：和。 =1，所以到长度为2的途径有1条：。 =0，到自身无长度为3的回途径。 =4，到自身有4条长度为4的回途径，它们分别是：、、和。 可达性矩阵 在许多实际问题中，常常要判断有向图的一个顶点到另一个顶点是否存在途径的问题。 对于有向图中的任何两个顶点之间的可达性，也可用矩阵表示。 定义 设是一个简单有向图，…，}，阶方阵=称为的可达性矩阵eachability Matrix )，其中 可达性矩阵表明，图中的任何两个顶点之间是否存在途径及任何顶点是否存在途径。由于任何两个顶点之间如果有一条途径，则必有一条长度不超过的基本途径，所以由的邻接矩阵可得到可达性矩阵。方法是